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  1. Euler-Maclaurin-Formeln

    • Für eine im Intervall [0,1] 2n-mal stetig differenzierbare Funktion f(x) und eine Konstante tex2html_wrap_inline90 gilt:
      displaymath7
      wobei tex2html_wrap_inline92 die Bernoulli-Zahlen bezeichnet. Wendet man diese Formel auf ein in m gleichgroße Teilintervalle zerlegtes Integral über [a,b] an, findet man
      eqnarray22
      wobei h = (b-a)/m.

    • Die letzte Formel kann zu einer sehr genauen Abschätzung höherer Terme in einer unendlichen Summe benutzt werden.

      bernoulli.c | bsum.c

  2. Integration

    • Prinzip aller Integration ist eine Schätzung der Form
      displaymath50

    • Eine Schätzung tex2html_wrap_inline94 heißt Interpolations-Quadraturformel, wenn sie für Polynome bis zum Grade n exakt ist (d.h. der Rest ist Null). Zu vorgegebenen Stützstellen xi existiert genau eine solche Formel. Es gilt
      displaymath60
      wobei w(x) eine beliebige Gewichtsfunktion und Li(x) die Lagrangeschen Interpolationspolynome bezeichnen.

    • Interpolations-Quadraturformeln mit äquidistanten Stützstellen heißen Newton-Cotes-Formeln.

    • Beispiel: Bei der Trapezregel werden im Intervall [0,1] die Stützstellen x0 = 0 und x1 = 1 gewählt. Die Gewichte ergeben sich für w(x)=1 zu w0 = w1 = 1/2, also
      displaymath72

    • Eine Schätzung tex2html_wrap_inline106 ist vom Gaußschen Typ, wenn sie für Polynome bis zum Grade 2n+1 exakt ist. Zu vorgegebener Gewichtsfunktion w(x) gibt es genau eine Gaußsche Quadraturformel. Dabei sind die Stützstellen nicht mehr frei wählbar, sondern durch die Nullstellen des (n+1)-ten, bezüglich w(x) orthogonalen Polynoms gegeben.

    • Je nach Wahl der Funktion w(x) ergeben sich die nach den bekannten Klassen orthogonaler Polynome benannten Quadratur-Formeln: Gauß-Legendre, Gauß-Chebyshev, Gauß-Laguerre, etc.

      gauss.h | integ.c | integ.gnu


Zuletzt verändert: Alex Weiße