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\topmatter\title Summen von Quadratzahlen, Summen von Kubikzahlen \endtitle
\author D\. Zagier\endauthor\endtopmatter\document   

Die Zahlentheorie geh\"ort neben der Geometrie zu den \"altesten Gebieten der Mathematik.  
Ganzzahlige L\"osungen der ``Pythagor\"aischen"
Gleichung $a^2+b^2=c^2$ wie z.B\. $3^2+4^2=5^2$ oder $8^2+15^2=17^2$ wurden bereits in
Babylon und in vielen anderen antiken Zivilisationen gesucht und gefunden, und ein 
erheblicher Teil der {\it Elemente} von {\smc Euklid} behandelt Fragen von 
Primzahlen und Teilbarkeit von ganzen Zahlen.  Der wohl gr\"o\ss te Zahlentheoretiker 
der Antike, {\smc Diophant} (ca. 250~A.D.), hat mit seinen {\it Arithmetika} ein 
Meisterwerk hinterlassen, das seiner Zeit so weit voraus war, dass es auch nach seinem 
Wiederauftauchen im 16.~Jahrhundert f\"ur die gr\"o\ss ten Mathematiker Europas ein
R\"atsel und eine Inspiration darstellte. (Das Buch war seit der Verbrennung der Bibliothek 
in Alexandria verschollen und wurde erst im Jahr 1570 in einer arabischen \"Ubersetzung 
wiederentdeckt.)  Das Teilgebiet der Zahlentheorie, das sich mit der L\"osbarkeit von
algebraischen Gleichungen in ganzen oder gebrochenen Zahlen
besch\"aftigt, hei\ss t zu Diophants Ehre heute die ``diophantische
Analysis" oder die Theorie der ``diophantischen Gleichungen".
Ich m\"ochte hier dieses Gebiet vorstellen anhand einiger \"alterer und neuerer Resultate
zu der Frage der Darstellbarkeit einer gegebenen Zahl als Summe von Quadrat- oder Kubikzahlen.


Ich fange an mit einem der sch\"onsten und ber\"uhmtesten Resultate
aus der Zahlentheorie, n\"amlich der Antwort auf die Frage: welche
Zahlen lassen sich als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen?  Wegen
der Identit\"at
  $$  (a^2+b^2)(c^2+d^2)\=(ad-bc)^2\,+\,(ac+bd)^2\,, $$
die besagt, dass ein Produkt zweier solcher Quadratzahlsummen ebenfalls
eine solche ist, kann man sich auf Primzahlen beschr\"anken.  Die Primzahl~2
ist offenbar Summe zweier Quadratzahlen: $2=1+1=1^2+1^2\,$.  Jede andere
Primzahl ist un\-ge\-rade, l\"asst sich also in der Form $2N+1$ schreiben.
Die Antwort auf unsere Frage, die um 1640 von {\smc Fermat} gefunden wurde
(aber die Diophant m\"oglicherweise bereits wusste), lautet wie folgt:

\proclaim{Satz 1}  $(1)$ Eine Primzahl der Gestalt $2N+1$ mit $N$ {\bf gerade}
l\"asst sich auf genau eine Weise als Summe zweier ganzer Quadratzahlen
darstellen.  $(2)$ Eine Primzahl der Gestalt $2N+1$ mit $N$ {\bf ungerade}
hat keine Darstellung dieser Art. \endproclaim

Die Aussage (2) ist sehr elementar, aber die Aussage~(1) ist ein recht tiefer
Satz, auch wenn man heute viele verschiedene Beweise kennt\footnote{Siehe 
z.B.~D.~Zagier, {\it A one-sentence proof that every prime $p\equiv1\pmod4$
is a sum of two squares}, Amer.~Math.~Monthly {\bf 97} (1990), S.~144}.
F\"ur kleine Primzahlen k\"onnen wir den Satz von Hand nachpr\"ufen.  So haben die
Primzahlen 5, 13, 17, 29, 37 und 41 (mit $N=2$, 6, 8, 14, 18 und 20) die
Darstellungen 1+4, 4+9, 1+16, 4+25, 1+36 und 16+25 und keine anderen,
w\"ahrend die Primzahlen 3, 7, 11, 19, 23 und 31 
(mit $N=1$, 3, 5, 9, 11 und 15) \"uberhaupt nicht als Summe von zwei
Quadratzahlen darstellbar sind.  (Z.B.~sind die Quadratzahlen bis 31
die Zahlen 1, 4, 9, 16 und 25, und man sieht sofort, dass keine zwei
von ihnen sich auf 31 addieren.)

Man kann dieselbe Frage ebenfalls f\"ur gebrochene Quadratzahlen stellen. 
Verbl\"uf\-fender\-weise ist auch hier die Antwort sehr einfach:

\proclaim{Zusatz}  $(1)$ Eine Primzahl der Gestalt $2N+1$ mit $N$ gerade
l\"asst sich auf unendlich viele Weisen als Summe zweier gebrochener Quadratzahlen
darstellen.  $(2)$ Eine Primzahl der Gestalt $2N+1$ mit $N$ ungerade
hat keiner Darstellung dieser Art. \endproclaim

Zum Beispiel hat die Primzahl 5 neben der evidenten Zerlegung als $1+4=1^2+2^2$
ebenfalls die Darstellungen $5=\frac4{25}+\frac{121}{25}=\bigl(\frac25\bigr)^2
+\bigl(\frac{11}5\bigr)^2$ und $5=\frac4{169}+\frac{841}{169}=\bigl(\frac2{13}\bigr)^2
+\bigl(\frac{29}{13}\bigr)^2$ und unendlich viele weitere, w\"ahrend die Primzahl 3
auch dann, wenn man Br\"uche zul\"asst, niemals in der Gestalt $a^2+b^2$ schreibbar ist.

\medskip
Ein gewisses Gegenst\"uck zu dem obigen Satz von Fermat stellt der folgende, genau so
ber\"uhmte Satz von {\smc Lagrange} (1770) dar:

\proclaim{Satz 2}  Jede positive ganze Zahl l\"asst sich als Summe von
h\"ochstens vier ganzen Quadratzahlen darstellen. \endproclaim

Z.B.~kann man 31 als 1+1+4+25 schreiben.  Mit weniger Quadratzahlen kommt man hier
nicht aus, so dass man die Zahl ``vier" in dem Lagrangeschen Satz nicht durch ``drei"
ersetzen kann.  Es ist dann nat\"urlich zu fragen, welche Zahlen mit nur drei Quadraten
darstellbar sind.  Dabei darf man sich auf Zahlen beschr\"anken,
die nicht durch 4 teilbar sind.  (Ist n\"amlich $n=a^2+b^2+c^2$ und $n$ durch~4
teilbar, so sind notwendigerweise $a$, $b$ und $c$ alle drei gerade und man kann
die ganze Gleichung durch~4 teilen.)  Hieraus ergeben sich zwei interessante Fragen:

\smallskip
\noindent{\bf Frage 1.} Welche nicht durch~4 teilbare Zahlen lassen sich als Summe von h\"ochstens
drei Quadratzahlen schreiben?
\smallskip
\noindent{\bf Frage 2.} Welche nicht durch~4 teilbare Zahlen lassen sich auf {\it genau eine Weise}
als Summe von h\"ochstens drei Quadratzahlen schreiben?
\smallskip
Es stellt sich heraus, dass diese Fragen viel schwieriger sind als die entsprechenden f\"ur zwei und vier Quadrate.
Die erste wurde von {\smc Legendre} (1798) und {\smc Gauss} (1801) beantwortet.  Die Antwort (die Gauss
soviel Freude gemacht hat, dass er zu diesem Anlass in sein Tagebuch den ber\"uhmten Eintrag ``Eureka!
$\,n=\Delta+\Delta+\Delta\,$!" schrieb) ist leicht zu formulieren, obwohl ihr Beweis keineswegs elementar ist.
Sie lautet:

\proclaim{Satz 3} Eine nicht durch~4 teilbare nat\"urliche Zahl $n$ ist dann und nur dann als Summe
von h\"ochstens drei Quadratzahlen darstellbar, wenn der Rest von $n$ nach Division durch~8 nicht
gleich~7 ist. \endproclaim

Die Zahlen 7, 15, 23, 31, \dots sind also nicht darstellbar, w\"ahrend zum Beispiel
die Zahlen 19 ($=8\times2+3$) und 427 ($=8\times53+3$) die Darstellungen $19=1+9+9$ bzw\. $427=81+121+225$
besitzen.  In diesen beiden F\"allen ist die gegebene Darstellung die einzige, so dass wir hier auch Beispiele
zu Frage~2 haben.  Wenn man mit einem Computer bis etwa 10.000 oder 100.000 sucht, findet man keine weiteren
solchen Zahlen und man kann vermuten, dass 427 vielleicht tats\"achlich die letzte ist.  Der amerikanische
Mathematiker {\smc E.~Grosswald} hat entdeckt, dass dies aus einer L\"osung des sogenannten {\it Klassenzahl\-problems}
von Gauss folgen w\"urde, einer L\"osung, die 1984 von {\smc B.~Gross} und mir nach Vorarbeiten von {\smc D.~Goldfeld}
erbracht wurde.  Somit haben wir die vollst\"andige Antwort auf Frage 2:

\proclaim{Satz 4} Die einzigen nicht durch~4 teilbaren Zahlen, die genau eine Darstellung als Summe
von h\"ochstens drei Quadratzahlen besitzen, sind 1, 2, 3, 5, 6, 10, 11, 13, 14, 19, 21, 22, 30, 35, 37, 42,
43, 46, 58, 67, 70, 78, 91, 93, 115, 133, 142, 163, 190, 235, 253, 403 und 427. \endproclaim


Wir gehen jetzt von Quadratzahlen zu Kubikzahlen, also dritten Potenzen, \"uber.  Hier lautet das Analogon
zum Lagrangeschen Satz wie folgt:

\proclaim{Satz 5}  Jede positive ganze Zahl l\"asst sich als Summe von h\"ochstens neun ganzen Kubikzahlen 
darstellen. \endproclaim

Dieser Satz, der 1770 von {\smc Waring} als Vermutung formuliert wurde, wurde 1912 von {\smc Wieferich} 
bewiesen.  Man wei\ss \ \"ubrigens, dass nur die beiden Zahlen 23\,=\,1+1+1+1+1+1+1+8+8 und 239\,=\,1+8+8+8+8+27+27+27+125
tats\"achlich 9 Kubikzahlen brauchen und alle anderen Zahlen mit h\"ochstens 8 auskommen;
die Analoga der obigen Resultate f\"ur Quadratzahlen (also die genaue Bestimmung der Zahlen, f\"ur die man 
$3,\,4,\dots,\,8$ Kubikzahlen braucht) sind aber nicht bekannt.  \"Ubrigens ist Satz~5 lediglich ein Spezialfall
eines viel allgemeineren Ergebnisses.  Waring hatte n\"amlich vermutet, dass jede nat\"urliche Zahl Summe von 4
Quadraten, 9 Kubikzahlen, 19 Biquadraten (= vierte Potenzen), ``und so weiter" sei, d.h., dass man bei jeder festen 
Potenz immer nur eine beschr\"ankte Anzahl von Summanden braucht, um eine beliebige nat\"urliche Zahl darzustellen.
Diese Vermutung wurde 1909 in einer brillianten Arbeit von dem deutschen Mathematiker {\smc D.~Hilbert} bewiesen.

Zum Schluss will ich etwas \"uber eine Frage aus demselben Themenkreis erz\"ahlen, die aber viel tiefere und
schwierigere Hilfsmittel erfordert, als dies bei den bisher erw\"ahnten S\"atzen der
Fall war.  Diese Frage geh\"ort zu der Theorie der soge\-nann\-ten {\it elliptischen Kurven}, einem Teilgebiet der
diophantischen Analysis, das in den letzten Jahrzehnten eine rasante Entwicklung erlebt hat und zu der L\"osung
von verschiedenen klassischen Problemen der Zahlentheorie gef\"uhrt hat (hierunter der oben erw\"ahnte Satz von
B.~Gross und mir und der sensationelle Beweis des ``letz\-ten Satzes von Fermat" von {\smc A.~Wiles}).  Am Anfang
dieses Artikels hatten wir die Frage gestellt: welche Primzahlen $p$ lassen sich als Summe von zwei Quadraten 
darstellen? und gesehen (Satz~1 und Zusatz), dass die Antwort auf diese Frage dieselbe ist, wenn wir bei den
verwendeten Quadratzahlen nur ganze Zahlen zulassen oder auch gebrochene Summanden akzeptieren.  Bei dritten
Potenzen ist die Situation anders, da---wie sich herausstellt---nur die Frage nach der Zerlegbarkeit 
in {\it gebrochene} Kubikzahlen eine interessante Antwort besitzt.  Dass diese Antwort nicht leicht sein
kann, sieht man anhand einfacher Beispiele.  So hat bereits die kleine Primzahl 13 die nicht ganz evidente
Zerlegung $13=\frac8{27}+\frac{343}{27}=\bigl(\frac23\bigr)^3+\bigl(\frac73\bigr)^3$ als Summe von zwei gebrochenen
Kubikzahlen, w\"ahrend die nicht allzu gro\ss e ``franz\"osische" Primzahl 1789 als {\it einfachste} L\"osung die Zerlegung 
$$1789\;=\;\biggl(\frac{38119538057820221}{2828707454055574}\biggr)^3 
    \;+\;\biggl(-\,\frac{24606633997841365}{2828707454055574}\biggr)^3$$
hat, die man mit keinem noch so leistungsstarken Computer durch direktes Ausprobieren je finden k\"onnte. Umgekehrt
gibt es auch andere Primzahlen, wie etwa 73, die gar keine Darstellung der Form $a^3+b^3$ haben, f\"ur die man
dies aber nur unter Verwendung von schwierigen Resultaten aus der modernen Zahlentheorie nachweisen kann.  
Schliesslich wei\ss \ man, dass (mit der bereits erw\"ahnten Ausnahme der Primzahl~2, die die eindeutige Zerlegung 
als $1^3+1^3$ besitzt) jede Primzahl, die \"uberhaupt als Summe zweier gebrochener Kubikzahlen darstellbar ist,
dies auf unendlich viele verschiedene Weisen ist, z.B.
$$ 19\=\biggl(\frac32\biggr)^3+\biggl(\frac52\biggr)^3 \=\biggl(\frac13\biggr)^3+\biggl(\frac83\biggr)^3
   \=\biggl(\frac{33}{35}\biggr)^3+\biggl(\frac{92}{35}\biggr)^3\=\,\cdots$$
(Vergleiche den Zusatz zu Satz~1, der dieselbe Aussage f\"ur Quadratzahlen gibt.)
Trotz dieser Schwierigkeiten ist die Antwort auf die Frage der Zerlegbarkeit von Primzahlen in gebrochene 
Kubikzahlen jetzt fast vollst\"andig bekannt.  
Im letzten Teil dieses Artikels m\"ochte ich diese Antwort vorstellen.


Bei den Quadratzahlen hing die Antwort auf die Frage der Zerlegbarkeit einer Primzahl $\,p\,$ davon ab, ob $\,p\,$ von
der Gestalt $2N+1$ mit $N$ gerade oder mit $N$ ungerade war, d.h., ob $\,p\,$ selber die Gestalt $4k+1$ oder $4k+3$ hatte.  
Bei den Kubikzahlen stellt sich heraus, dass wir statt dessen nach dem Rest der Primzahl nach Division durch~9 (anstatt~4)
unterscheiden m\"ussen.  Wenn wir also die Ausnahmeprimzahlen~2 und~3 weglassen (f\"ur die die Antwort l\"angst bekannt
ist: 2~l\"asst sich nur in der Form 1+1 als Summe zweier gebrochener Kubikzahlen schreiben, und 3~gar nicht), m\"ussen
wir sechs verschiedene Klassen unterscheiden:
\roster\item"(I)" $\,p\=9k+1$\qquad($\,p=19$, 37, 73, 109, \dots)
\item"(II)" $\,p\=9k+2$\qquad(\,$p=11$, 29, 47, 83, \dots)
\item"(III)" $\,p\=9k+4$\qquad(\,$p=13$, 31, 67, 103, \dots)
\item"(IV)" $\,p\=9k+5$\qquad(\,$p=5$, 23, 41, 59, \dots)
\item"(V)" $\,p\=9k+7$\qquad(\,$p=7$, 43, 61, 79, \dots)
\item"(VI)" $\,p\=9k+8$\qquad(\,$p=17$, 53, 71, 89, \dots)
\endroster\noindent Bei den Klassen (II) und (IV) ist die Antwort ``nein" (d.h., diese Primzahlen sind nie als
Summe zweier rationaler Kubikzahlen darstellbar), und der Beweis ({\smc Sylvester}, 1856, {\smc Pepin}, 1870)
ist relativ elementar, da er auf der bereits
von Fermat entdeckten ``Methode des unendlichen Abstiegs" basiert.  Bei (III) und (V) lautet die Antwort ``ja"
(diese Primzahlen sind also immer darstellbar); der Beweis aber, der von {\smc N.~Elkies} stammt und noch nicht
ver\"offentlicht ist, benutzt bereits wesentlich schwierigere Hilfsmittel (Theorie der sogenannten Heegner-Punkte auf
Modulkurven).  Im Falle (VI) ist die Antwort mit ziemlicher Sicherheit ``ja".  Dies ist aber noch nicht bewiesen, 
sondern ist nur ein Spezialfall der allgemeinen Vermutung von {\smc Birch} und {\smc Swinnerton-Dyer}, die ein 
Kriterium f\"ur die L\"osbarkeit einer gro\ss en Klasse von Gleichungen dieser Art gibt---eine Vermutung, die zu
den sieben ber\"uhmten Problemen geh\"ort, f\"ur deren L\"osung der amerikanische Mathematikm\"azen {\smc Landon~Clay} 
vor drei Jahren Preise von jeweils einer Million Dollar ausgeschrieben hat.  

Es bleibt also nur noch der Fall~(I). Hier ist die Antwort auf die Frage nach der Zerlegbarkeit als $a^3+b^3$ viel
weniger klar, da sie f\"ur verschiedene Primzahlen aus dieser Klasse verschieden ausf\"allt: von den 27 Primzahlen
der Gestalt $9k+1$ unter 1000 sind~14 (die Primzahlen
19, 37, 127, 163, 271, 379, 397, 433, 523, 631, 829, 883, 919 und 937) als Summe von zwei Kubikzahlen darstellbar
und die anderen~13 (die Primzahlen 73, 109, 181, 199, 307, 487, 541, 577, 613, 739, 757, 811 und 991) sind es nicht.
Die Antwort auf die Frage, woran man die Zerlegbarkeit in zwei Kubikzahlen einer Primzahl der Klasse~(I) erkennt,
wurde erst vor wenigen Jahren von dem argentinischen Mathematiker {\smc F.~Rodriguez Villegas} und mir gefunden,
und hat eine total unerwartete Gestalt.  Wir definieren zun\"achst eine gewisse Folge von Zahlen
\def\={\,=\,}
  $$B_0\=1\,,\; B_1\=2\,,\; B_2\=-152\,,\; B_3\=6848\,,\; B_4\=-8103296\,,\;\dots$$
die durch ein elementares, wenngleich ziemlich kompliziertes Bildungsgesetz gegeben wird (s.~Fig.~1).  Dann gilt:
\proclaim{Satz 6} Sei $p=9k+1$ prim.  Wenn $p$ die Zahl $B_k$ nicht teilt, so ist $p$ nicht als Summe zweier
gebrochener Kubikzahlen darstellbar.  Wenn die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer stimmt, gilt auch
die Umkehrung: ist $B_k$ durch $p$ teilbar, so hat $p$ eine (und damit auch unendlich viele) Darstellung(en)
dieser Art. \endproclaim

So ist $B_2\!=\!-152$ durch $9\!\times\!2\!+\!1\!=\!19$ und $B_4\!=\!-8103296$ durch $9\!\times\!4\!+\!1\!=\!37$ 
teilbar, und~19 und~37 sind tats\"achlich als Summen zweier Kubikzahlen darstellbar ($19=(3/2)^3+(5/2)^3$, 
$\;37=(19/7)^3+(18/7)^3$), w\"ahrend umgekehrt $B_8=532650564250569441280$ nicht durch $9\!\times\!8+1=73$ teilbar
ist und 73 nicht in der Gestalt $a^3+b^3$ mit gebrochenen Zahlen $a$ und $b$ geschrieben werden kann.  


\newpage\null\vskip14.5cm
\baselineskip 10pt plus .1pt   \def\k{{\ki k}}
{\klein\smallskip \noindent{\kleinbf Figur 1. Bildungsgesetz der Zahlen $\text{\ki B}_\k\,$.} Die Zahlen in den Ovalen
haben auf der \k-ten nach links fallenden Diagonalen den konstanten Wert 24\k--21 (=3, 27, 51, \dots); die Zahlen in 
den Rechtecken haben auf der \k-ten horizontalen Linie den konstanten Wert --4\k(2\k--1)  ( = --4, --24, --60, \dots); 
die Zahlen in den Kreisen haben auf der \k-ten nach rechts fallenden Diagonalen die Werte 2\k,\,2\k--1,\,\dots,\,2,\,1; 
jede fettgedruckte Zahl ist die Summe ihrer nordwestlichen, n\"ordlichen und nord\"ostlichen fettgedruckten
Nachbarn, jeweils mit der Zahl in dem dazwischenliegenden Kreis, Rechteck, oder Oval multipliziert; und die 
ganz rechts stehenden fettgedruckten Zahlen sind die $\text{\ki B}_\k\,$.}

\end 


