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\def\Z{\Bbb Z}  \def\Q{\Bbb Q}  \def\R{\Bbb R}  \def\C{\Bbb C}  \def\z{\zeta}
\def\G{\Gamma} \def\g{\gamma}  \def\b{\bold 1} \def\abcd{\pmatrix a&b\\c&d\endpmatrix}
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\topmatter\title Quelques cons\'equences surprenantes de la cohomologie de $\SL$ \endtitle
\author Don Zagier\endauthor \endtopmatter 
\document
Je vais parler de beaucoup de choses diff\'erentes. J'avais l'intention de 
faire un petit plan, une sorte de ``Leitfaden'', et j'ai commenc\'e, mais
il est devenu bidimensionnel, puis tridimensionnel et puis quadridimensionnel,
et j'ai abandonn\'e. Il faudra que vous vous rendiez compte vous-m\^emes de quoi 
je parle au cours de mon expos\'e. Il est assez peu probable que vous y reussissiez
compl\`etement, car il va appara\^\i tre des th\`emes assez vari\'es et les
liens entre eux ne seront sans doute pas toujours tr\`es clairs. Mais il y 
a une chose qui va appara\^\i tre tout le temps et que vous allez reconna\^\i tre
\`a chaque reprise~: des formules dans lesquelles il y a un $X$ quelque part, un $X+1$,
et un $1+1/X$, li\'es par une relation du type
   $$ F\bigl(X\bigr) \;\approx\;F\bigl(1+X\bigr)\,+\,F\bigl(1+1/X\bigr) \tag *$$
o\`u ``$\approx$" signifie qu'il peut y avoir des coefficients ou un terme additif suppl\'ementaire. 
Cela constitue plus ou moins le contenu de mon expos\'e.

On m'a dit que je n'aurais pas d\^u mettre dans mon titre les mots ``cohomologie de 
$\SL$" car \c ca fait peur aux gens. C'est pourtant de \c ca qu'il s'agit en fait,
comme j'essayerai de l'expliquer plus tard.  En tout cas je vous demande, 
m\^eme si vous ne comprenez ou n'appr\'eciez pas grande-chose de ce que je
raconte~: si jamais au cours de vos \'etudes math\'ematiques vous d\'ecouvrez dans
la nature (bien s\^ur dans la nature math\'ematique, c'est la seule qui soit
vraie) quoi que ce soit o\`u il y a un $X$, un $X+1$ et un $1+1/X$, vous m'envoyez un 
petit courrier \'electronique, et j'essayerai de le faire rentrer dans le sch\'ema g\'en\'eral.
 
Avant de parler d'une th\'eorie g\'en\'erale, je vais commencer par trois exemples assez diff\'erents. 
\bigskip\noindent
{\bf Premier exemple~: Valeurs de $\z(2n)$}
\smallskip
En 1734, Euler a d\'emontr\'e un th\'eor\`eme tr\`es c\'el\`ebre, et en m\^eme temps a r\'esolu
un probl\`eme qui m\^eme \`a l'\'epoque datait de plus de 50 ans, le ``probl\`eme
de B\^ale," quand il r\'eussit \`a \'evaluer les nombres que l'on note maintenant
$$\z(2)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2},\quad \z(4)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^4},\quad \text{etc...}$$
($\z(s)=$ fonction z\^eta ``de Riemann" ou plut\^ot d'Euler). Il montra que
$$\z(2)=\dfrac{\pi^2}{6},\quad \z(4)=\dfrac{\pi^4}{90},\quad \text{etc...}$$

Je voudrais commencer par d\'emontrer \c ca, mais je suis beaucoup moins fort
qu'Euler, et je vais donc remplacer le nombre $\pi$ par le nombre $P$ {\it d\'efini} comme
$$P:=\sqrt{6\z(2)}$$
ce qui rend le premier th\'eor\`eme plus ou moins trivial, puisque j'ai d\'ej\`a l'identit\'e
  $$\z(2)=\dfrac{P^2}{6}$$ o\`u $P$ pourrait par exemple \^etre \'egal \`a $\pi$.
Mais maintenant je vais d\'emontrer que $$\z(4)=\dfrac{P^4}{90}\,,$$
c'est-\`a-dire que je vais montrer une relation entre 
les deux nombres $\z(2)$ et $\z(4)$, sans avoir  
d\'etermin\'e en fait ni l'un ni l'autre.

\c Ca se fait de la mani\`ere suivante. Je consid\`ere la fonction rationnelle de deux variables,
homog\`ene de degr\'e $-4$, d\'efinie par 
$$f(m,n)=\dfrac{2}{mn^3}+\dfrac{1}{m^2n^2}+\dfrac{2}{m^3n}\,.\tag1$$
Il ne faut pas me demander pourquoi cette fonction-l\`a.  J'ai choisi les
coefficients de telle mani\`ere que ce que je dirai apr\`es soit juste. On constate que
  $$f(m,n)-f(m,n+m)-f(m+n,n)=\dfrac{2}{m^2n^2}\tag2$$
ce qui est un exercice d'\'ecole, et vous voyez que quelque chose de non trivial s'est d\'ej\`a pass\'e~: 
le membre de gauche appartient a priori \`a $\Z[m\inv,\,n\inv,\,(m+n)\inv]$, et il s'est
produit un petit miracle pour que les p\^oles en $m=-n$ s'en aillent et qu'on ait un polyn\^ome
en $1/m$ et $1/n$ seulement.  C'est bien s\^ur l\`a la raison pour le choix des coefficients dans (1).

Je consid\`ere maintenant la sommation de (2) sur tous les entiers $m$ et $n$  positifs (au sens 
anglais du mot, c'est-\`a-dire strictement positifs),
et je vois qu'\`a droite on a $2\,\z(2)^2$ puisqu'on a deux sommations
ind\'ependantes sur $m$ et sur $n$. A gauche par contre on peut \'ecrire
$$\align &\sum_{m,n>0}f(m,n)-\sum_{m,n>0}f(m,m+n)-\sum_{m,n>0}f(m+n,n)\\
&\qquad\qquad=\sum_{m,n>0}f(m,n)-\sum_{n>m>0}f(m,n)-\sum_{m>n>0}f(m,n) \endalign$$  
(en rempla\c cant $m+n$ par $n$ dans la deuxi\`eme et par $m$ dans la troisi\`eme somme
respectivement), et puisqu'on a pour n'importe quels deux entiers $m$ et $n$,
soit $n>m$, soit $m>n$, soit $m=n$, on trouve pour le membre de gauche
$$\sum_{n>0}f(n,n)\,=\,\sum_{n=1}^\infty\frac5{n^4}\,=\,5\,\z(4)$$  
ce que donne bien la relation $5\,\z(4)=2\,\z(2)^2$ qu'on voulait d\'emontrer.

De la m\^eme mani\`ere, si je choisis un nombre pair $k=4$, $6$, $8$, \dots
et que je d\'efinis un autre $f$, homog\`ene de degr\'e $-k\,$, par
$$f(m,n)=\frac2{mn^{k-1}}+\frac1{m^2n^{k-2}}+\cdots+\frac1{m^{k-2}n^2}+\frac2{m^{k-1}n}\,,\tag3$$
alors, avec un calcul presque aussi \'el\'ementaire que dans l'\'equation (2) on
constate que la m\^eme diff\'erence se simplifie et qu'on a
$$f(m,n)-f(m,m+n)-f(m+n,n)=2\sum\Sb 0<j<k\\j\text{ pair}\endSb\dfrac{1}{m^jn^{k-j}}\,.$$
(Dans le cas pr\'ec\'edent $j$ ne prenait que la seule valeur $2$.) 
Le m\^eme raisonnement qu'avant donne cette fois
$$(k+1)\,\z(k)\,=\,\sum_{n>0}f(n,n)\,  
  =\,2\sum\Sb 0<j<k\\j\text{ pair}\endSb\z(j)\,\z(k-j)\qquad(k\ge4\text{ pair})\,,$$
et ceci montre par r\'ecurrence que $\z(k)\in\Q P^k$ pour tout $k$ pair.

Voil\`a donc une preuve du th\'eor\`eme d'Euler, et en m\^eme temps une premi\`ere application de 
l'id\'ee indiqu\'ee de fa\c con sch\'ematique par l'\'equation (*).
Bon, vous allez protester que j'avais parl\'e de $X$, $X+1$ et $1+1/X$ et qu'il n'y en a pas ici.
Mais la fonction $f$ \'etant homog\`ene, on peut sans perdre grande-chose la remplacer par
la fonction d'une seule variable d\'efinie par 
$$F(X)=f(X,1)=\frac2X+\frac1{X^2}+\frac2{X^3}\,.\tag4$$
La fonction de d\'epart $f(m,n)$ s'\'ecrit alors par $f(m,n)=n^{-4}F(m/n)$ et l'identit\'e (2) \'equivaut \`a 
$$F(X)-\frac1{(X+1)^4}\,F\bigl(\frac X{X+1}\bigr)-F(1+X)=\frac2{X^2}\tag5$$
ou bien (puisque $f$ est sym\'etrique et par cons\'equent $F(X)=X^{-4}F(1/X)\,$) 
$$F\bigl(X\bigr)\,=\, F\bigl(1+X\bigr)\,+\,X^{-4}\,F\bigl(1+1/X\bigr)\,+\,2\,X^{-2}\,,$$
ce qui a maintenant bien la forme g\'en\'erale d\'ecrite dans (*).
\bigskip\noindent
{\bf Deuxi\`eme exemple~: Fonction cotangente}
\smallskip
Le deuxi\`eme exemple est encore plus \'el\'ementaire que le premier.
On sait qu'on a la loi d'addition de la cotangente, qui dit que
$$\cot X\cot Y=\cot X\cot(X+Y)+\cot Y\cot(X+Y)+1$$
(ce qu'on peut r\'e\'ecrire de fa\c con plus sym\'etrique en posant $Z=-X-Y$). Cel\`a implique 
qu'on a pour la fonction de trois variables d\'efinie par
$$C(X,Y;T)=\frac14\left(\coth\frac{XT}2+\coth\frac{YT}2\right)
\left(\coth\frac T2-\coth\frac{XYT}2\right)$$
les relations suivantes (plus les m\^emes en \'echangeant $X$ et $Y$ 
puisque $C(X,Y;T)$ est \'evidemment sym\'etrique en $X$ et $Y)\,$~:
$$C(X,Y;T)+C\bigl(-\dfrac{1}{X},Y;XT\bigr)=0\,,\tag6a$$
$$ C(X,Y;T)+C\bigl(1-\dfrac{1}{X},Y;XT\bigr)+C\bigl(\dfrac{1}{1-X},Y;(1-X)T\bigr)=0\,.\tag6b$$
Noter que $X\mapsto1-1/X$ est une application p\'eriodique d'ordre 3~: on a
$$1-\frac1{1-\dfrac1X}=\frac1{1-X},\quad\text{et}\quad 1-\frac1{\dfrac1{1-X}}=X\,.$$

Les relations (6), dont nous donnerons plus tard une application \`a des identit\'es pour les polyn\^omes
de Bernoulli,  ne ressemblent pas beaucoup \`a (*), mais elles en sont en quelque sorte duales.
Pour rendre le lien plus visible on peut appliquer (6a) aux deux derniers
termes de (6b) et remplacer ensuite $X$ par $X+1$ pour obtenir
  $$ C(X,\,Y;\,T) = C(X+1,\,Y;T) - C(-1-1/X,\,Y;\,XT)\,,$$
ce qui a d\'ej\`a beaucoup plus la m\^eme allure que (*).  C'est pourtant plut\^ot la forme (6) qui 
est directement li\'ee \`a la cohomologie de $\SL$.  Mais avant d'expliquer \c ca je voudrais 
donner une g\'en\'eralisation qui a des propri\'et\'es beaucoup plus int\'eressantes.
\bigskip\noindent
{\bf Troisi\`eme exemple~: Fonctions th\^eta}   
\smallskip
Pour cel\`a, nous allons remplacer la fonction cotangente  
par une fonction moins \'el\'ementaire. Tout d'abord j'\'ecris la fonction $C$ d'une autre mani\`ere
en utilisant la loi d'addition du cosinus (c'est donc vraiment des math\'ematiques d'\'ecole ici~!)~:
$$C(X,Y;T)=\dfrac{\sinh\left(\dfrac{X+Y}{2}T\right)\sinh\left(\dfrac{XY-1}{2}T\right)}
 {4\sinh\left(\dfrac{T}{2}\right)\sinh\left(\dfrac{XT}{2}\right)
 \sinh\left(\dfrac{YT}{2}\right)\sinh\left(\dfrac{XYT}{2}\right)}\,.$$
Nous allons maintenant la g\'en\'eraliser. On sait que
les fonctions trigonom\'etriques peuvent se g\'en\'eraliser en les
{\it fonctions elliptiques\/}. Dans le cas pr\'esent, je vais prendre l'une des
fonctions elliptiques les plus connues, la fonction th\^eta de Jacobi $\theta_{\tau}(u)$.

Une fonction elliptique d\'epend d'un param\`etre suppl\'ementaire qui est un
nombre complexe, toujours not\'e $\tau$, de partie imaginaire (strictement)
positive, et on note toujours $q=e^{2\pi i\tau}$~; bien qu'il ne va y avoir que
des $q$ dans ma formule, il faut toujours penser en termes de fonctions de
$\tau$ parce que c'est $\tau$ qui est vraiment important et pas $q$.
La fonction $\theta_\tau$ est d\'efinie alors de la mani\`ere suivante~:
$$\theta(u)=\theta_{\tau}(u)=\bigl(e^{u/2}-e^{-u/2}\bigr)
  \prod_{n=1}^\infty\frac{(1-q^ne^u)(1-q^ne^{-u})}{(1-q^n)^2}\,.$$
Elle a des tr\`es jolies propri\'et\'es, par exemple l'identit\'e de Jacobi
$$\theta_\tau(u)=\frac{\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\,q^{n(n+1)/2}\,(e^{(n+1/2)u}-e^{-(n+1/2)u})}
{ \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\,(2n+1)\,q^{n(n+1)/2}}$$  
que l'on ne va pas utiliser, mais qui est trop jolie pour qu'on ne la rappelle pas~; cette fonction
et cette identit\'e sont certainement parmi les plus belles de toutes les math\'ematiques.

Quand $\tau\to i\infty$, on a $q\to 0$ et le produit infini est r\'eduit \`a 1. On a donc
 $$\theta_{i\infty}(u)=2\sinh\dfrac u2\,;$$
la fonction $\sinh$ (ou $\sin$) est donc un cas limite de $\theta_\tau$.  Je remplace maintenant le 
sinus par la fonction $\theta_{\tau}$ dans la d\'efinition de $C$. Cette nouvelle fonction
$$C_\tau(X,Y;T)=\dfrac{\theta((X+Y)T)\,\theta((XY-1)T)}
   {\theta(T)\,\theta(XT)\,\theta(YT)\,\theta(XYT)}\,,\tag7$$
qui d\'epend d'un param\`etre suppl\'ementaire $\tau$,
{\it satisfait toujours aux relations} (6). Ce n'est pas cette fois
une cons\'equence de la loi d'addition de la fonction cotangente, mais
des ``relations th\^eta de Riemann'' qui sont des relations
extr\^emement importantes dans la th\'eorie des vari\'et\'es ab\'eliennes.
C'est donc un th\'eor\`eme plus profond qu'avant qui joue un r\^ole, 
et il va donner comme application \'egalement quelque chose de plus profond, \`a savoir
la th\'eorie des p\'eriodes de formes modulaires, comme je vais l'expliquer dans quelques minutes. 
Mais j'aimerais d'abord mettre \c ca dans un contexte un peu plus math\'ematique en faisant
intervenir la cohomologie de $\SL$ dont il est question dans mon titre.
\bigskip\noindent
{\bf Le groupe $\SL$ et sa cohomologie}
\smallskip
Pour cela il faut que nous fassions connaissance avec le groupe  $\SL$ 
qui est le vrai h\'eros de notre histoire~:  
$$\SL=\left\{\abcd\bigl|\ a,b,c,d\in\Z,\ ad-bc=1\right\}\,.$$
En fait nous nous servirons plut\^ot du quotient de ce groupe par $\{\pm1\}$, que nous noterons par $\G$.
Comme groupe abstrait, il est engendr\'e par deux \'el\'ements $S$ et $U$ avec les relations
$$\G\,=\,\bigl\langle\, S,U\ |\ S^2=U^3=\b\,\bigr\rangle\,,$$  o\`u
$$S=\pm\pmatrix0&-1\\1&0\endpmatrix,\quad U=\pm\pmatrix1&-1\\1&0\endpmatrix,\quad
  \b=\pm\pmatrix1&0\\0&1\endpmatrix.$$
Pour nos besoins plus tard j'introduis \'egalement les \'el\'ements
 $$T=\pm\pmatrix1&1\\0&1\endpmatrix =US,\quad T'=\pm\pmatrix1&0\\1&1\endpmatrix=U^2S\,.\tag8$$

J'imagine maintenant que j'ai un espace vectoriel $V$ sur lequel op\`ere ce groupe
$\G$, donc une repr\'esentation du groupe $\G$. On peut d\'efinir alors
$$H^1(\G,V)=\dfrac{Z^1(\G,V)}{B^1(\G,V)}\,,$$
ce sont les {\it cocycles} divis\'es par les {\it cobords}. 

Comment ces ``cocycles" et ``cobords" sont-ils d\'efinis?  Ce sont les notions de base
de la cohomologie. L'id\'ee en les d\'efinissant est toujours pareille~: les cocycles
c'est ce qui nous int\'eresse et les cobords par lesquels on divise, c'est les cocyles
``b\^etes" qui ne nous int\'eressent pas. 
(Cela d\'epend \'evidemment de la situation~: un jour on peut vouloir s'int\'eresser \`a ce qui 
n'\'etait pas int\'eressant la veille, ou m\^eme trouver malin ce qu'on a trouv\'e b\^ete avant.)
Dans le cas qui nous concerne la d\'efinition est tr\`es simple. Tout d'abord, il
me faut une notation~: si $v\in V$ et $\g\in\G$, je note $v|\g$ le r\'esultat de
l'op\'eration de $\g$ sur $v$ (ce qui suppose que l'op\'eration est \`a droite, c'est-\'a-dire
que $(v|\g_1)|\g_2=v|(\g_1\g_2)$ pour tout $\g_1,\,\g_2\in\G$). On d\'efinit alors
  $$Z^1(\G,V)=\left\{f:\G\to V\mid f(\g_1\g_2)=f(\g_1)|{\g_2}+f(\g_2)\;\text{ pour tout $\g\in\G$}\,\right\}$$
et d'autre part
 $$B^1(\G,V)=\bigl\{f:\G\to V\ \bigl|\ \exists v_0\in V\text{ tel que }
    f(\g)=v_0|\g-v_0\;\text{ pour tout $\g\in\G$}\,\bigr\}\,.$$
On constate facilement que pour n'importe quel vecteur $v_0\in V$ fix\'e, la fonction $\g\to v_0|{\g}-v_0$ 
poss\`ede effectivement la propri\'et\'e de cocycle $f(\g_1\g_2)=f(\g_1)|{\g_2}+f(\g_2)$.  C'est la fa\c con 
triviale de satisfaire cette relation~; le groupe vraiment int\'eressant est donc le quotient $H^1=Z^1/B^1$. 

Regardons ce que \c ca donne dans le cas de $\G=\SL/\{\pm1\}$. Si pour un cocycle $f$ vous connaissez
$f(\g_1)$ et $f(\g_2)$, alors vous connaissez aussi $f(\g_1\g_2)$.
Donc il suffit de conna\^\i tre un cocycle sur les g\'en\'erateurs du groupe,
puisque apr\`es par r\'ecurrence vous l'avez pour tous les \'el\'ements.
Dans notre cas, il suffit de sp\'ecifier $f(S)$ et $f(T)$.
Nous allons nous int\'eresser aux cocycles appartenant au sous-groupe
  $$Z_0^1(\G,V)=\bigl\{f\in Z^1(\G,V)\,\bigl|\,f(T)=0\bigr\}$$
de $Z^1(\G,V)$.  Pour de tels cocycles, $f$ est donc d\'etermin\'e par la valeur de l'\'el\'ement 
$Q=f(S)\in V$. Toutefois, on ne peut pas choisir n'importe quel $Q$ parce que si l'on essaye de calculer la 
valeur du cocycle pour un \'el\'ement $\g\in\G$, on va s'apercevoir qu'\`a cause des relations on peut 
\'ecrire un $\g$ comme produit des g\'en\'erateurs $S$ et $T$ de $\G$ de plusieurs fa\c cons diff\'erentes
et que \c ca donnerait des r\'eponses diff\'erentes si le $Q$ \'etait mal choisi. Il se trouve que la fonction
$T\mapsto0,\;S\mapsto Q$ peut s'\'etendre \`a un cocycle $f:\G\to V$ si et seulement si $Q$ satisfait aux conditions
  $$ Q|(\b+S)=0\,,\quad Q|(\b+U+U^2)=0\,.\tag9$$
(Noter que $Q|(\b+S)$ signifie $Q+Q|S$ et non le r\'esultat d'op\'erer sur $Q$ avec la somme des matrices 
$\b$ et $S$, et de m\^eme $Q|(\b+U+U^2)$ veut dire $Q+Q|U+Q|U^2$.)

Tout ceci est assez abstrait. Regardons donc quelques exemples.
\bigskip\noindent
{\bf Les ``relations de p\'eriodes"}
\smallskip
Prenons d'abord pour $V$ l'espace (de dimension infinie) des fonctions en trois variables
$F(X,Y;T)$, paires en $T$, avec une op\'eration de $\G$ donn\'ee par
$$\bigl(F|\gamma\bigr)\bigl(X,Y;T\bigr)=F\bigl(\frac{aX+b}{cX+d},\,Y;\,(cX+d)T\bigr)
  \qquad\text{pour }\g=\abcd\,.\tag10$$
Alors les relations (6) disent exactement que l'\'el\'ement $C\in V$ satisfait \`a (9) et d\'efinit
donc un cocycle $f\in Z^1_0(\G,V)$ par $f(S)=C$, $f(T)=0$.
La loi d'addition de la cotangente a donc une interpr\'etation ``cohomologique," comme on l'avait promis.

Si on consid\`ere dans (10) les fonctions $F(X,Y;T)$ comme des s\'eries de puissances ou des
s\'eries de Laurent paires en $T$ avec des fonctions qui sont des fonctions de $X$ (nous ne
mentionnons pas ici la variable $Y$ qui ne joue aucun r\^ole dans (6)), alors on voit que l'op\'eration
induite par (10) sur le coefficient de $T^K$ est celle donn\'ee par
$$(f|_{-K}\g)(X)=(cX+d)^Kf\left(\dfrac{aX+b}{cX+d}\right)\quad\text{pour }\g=\abcd\,.\tag11$$
Ceci a un sens pour tout $K\in\Z$ si on prend $\g\in\SL$ et pour $K$ pair si on consid\`ere
$\g\in\G=\SL/\{\pm1\}$. On l'appelle l'op\'eration de $\G$ {\it en poids $-K$} (le signe ``moins" dans cette d\'efinition a des 
raisons historiques et s'av\'erera pratique quand nous passons aux formes modulaires). Pour 
l'op\'eration (11), les relations (9) d\'ecrivant les cocycles s'\'ecrivent explicitement comme
 $$\aligned &Q\bigl(X\bigr)+X^K\,Q\bigl(\frac{-1}X\bigr)=0\,,\\
 Q\bigl(X\bigr)+X^K\,Q&\bigl(1-\frac1X\bigr)+(X-1)^K\,Q\bigl(\frac1{1-X}\bigr)=0\,.\endaligned\tag12$$
Je les appellerai les {\it relations de p\'eriodes}, parce qu'elles interviennent dans la th\'eorie 
des p\'eriodes des formes modulaires, mais il y a d'autres exemples.

Soient $K=-4$ et $F(X)$ la fonction d\'efinie dans (4). Alors l'\'equation (5)
qui \'etait \`a la base de notre d\'emonstration de $5\z(4)=2\z(2)^2$ peut s'\'ecrire
  $$F-F|_4T-F|_4T'=\dfrac{2}{X^2}$$
avec $T$ et $T'$ comme ci-dessus (\'eq\. (8)). Dans ce cas-ci on v\'erifie imm\'ediatement que
$Q=F$ satisfait \`a la deuxi\`eme des relations (12)  mais non \`a la premi\`ere (on a $F(X)+X^{-4}F(-1/X)=2/X^2$),
ceci \'etant d\^u au terme $2/X^2$ dans (5), le ``terme additif suppl\'ementaire"
dont il a \'et\'e question dans l'introduction.  Plus g\'en\'eralement, on voit que notre \'equation
fondamentale (*)  s'\'ecrit $F\approx F|T+F|T'$ et qu'elle est li\'ee aux relations de cocycle (9) par 
  $$ F-F|T-F|T'\,=\,F|(\b+S)-F|(\b+U+U^2)|S\,,$$
un calcul que nous avions d\'ej\`a fait \`a la fin de la discussion du ``deuxi\`eme exemple."

Autres exemples. Je prends $K=-2$, $Q(X)=1/X$. Alors $Q$ satisfait \`a (12).
Ou, plus stupide encore, $Q(X)=\log|X|$ en poids $K=0$.

Mais il y a d'autres exemples, plus int\'eressants, en poids n\'egatif. L'int\'er\^et de prendre un poids 
n\'egatif est qu'on peut avoir  des solutions  {\it polynomiales} de (12).  (Si $K\ge0$ et $f(X)$ est un 
polyn\^ome de degr\'e $\le K$, alors le membre de droite de l'\'equation (11) est \'egalement un polyn\^ome.)

Pour $K=2$, par exemple, on trouve les deux solutions $Q(X)=X^2-1$ et $Q(X)=X^3-5X+1/X$ de (12).
La premi\`ere est un polyn\^ome, la deuxi\`eme est ``presque" un polyn\^ome.

De la m\^eme mani\`ere, pour $K=4$, on trouve les deux solutions $Q(X)=X^4-1$ et $Q(X)=2X^5-7X^3-7X+2/X$,
et pour $K=6$ les solutions $X^6-1$ et $3X^7-10X^5-7X^3-10X+3/X$.

En g\'en\'eral pour $K=k-2$ avec n'importe quel entier $k>2$ pair, il y a deux fonctions sp\'eciales 
qui marchent toujours, \`a savoir
$$P_k^+(X)=X^{k-2}-1\tag13$$ 
que vous aviez d\'ej\`a devin\'ee, et une autre, presque polyn\^omiale, donn\'ee par
$$P_k^-(X)=\sum_{n=0}^k\dfrac{B_n}{n!}\dfrac{B_{k-n}}{(k-n)!}X^{n-1}\tag14$$
o\`u les $B_n$ sont les nombres de Bernoulli, d\'efinis par $\sum_{n=0}^\infty B_nX^n/n!=X/(e^X-1)$
($B_0=1$, $B_1=-\frac12$, $B_2=\frac16$, $B_3=0$, \dots). La v\'erification de (12) pour $P_k^+$ est triviale.
Pour $P_k^-$ elle \'equivaut aux relations (6). En effet, en utilisant le d\'eveloppement de Laurent 
 $\dfrac12\coth\dfrac X2=\sum\limits_{n\ge0\text{ pair}}\dfrac{B_n}{n!}X^{n-1}$ 
on trouve le d\'eveloppement 
 $$ C(X,Y;T) = \frac{(X+Y)(XY-1)}{X^2Y^2}\,T^{-2}-\sum\Sb k\ge4\\k\text{ pair}\endSb
   \bigl[P_k^+(X)P_k^-(Y)+P_k^+(Y)P_k^-(X)\bigr]\,T^{k-2}\,,$$


S'il n'y avait que \c ca, ce serait absolument d\'epourvu d'int\'er\^et.  Mais si on continue
(\`a la main ou \`a l'aide d'un ordinateur), il appara\^\i t quelque chose d'int\'eressant.
\bigskip\noindent
{\bf Formes modulaires}\nopagebreak
\smallskip
Si je continue comme ci-dessus, je trouve que pour $k=4$, 6, 8, $10$ et $14$
il n'y a pas d'autres solutions polynomiales ou presque polynomiales de (12) (avec $K=k-2$)
que $P_k^+$ et le $P_k^{-}$. Mais pour $k=12$, il y en a deux autres, qui sont~:
$$\aligned Q_{12}^+(X)&=X^8-3X^6+3X^4-X^2\,,\\
Q_{12}^-(X)&=4X^9-25X^7+42X^5-25X^3+4X\,.\endaligned \tag15$$
Donc pour la premi\`ere fois j'ai quatre solutions lin\'eairement ind\'ependantes. 
Cel\`a provient de l'existence de formes modulaires non-triviales. 

Rappelons la d\'efinition. Je consid\`ere les fonctions $f(\tau)$ holomorphes dans $\Im(\tau)>0$, 
et je demande qu'elles soient petites \`a l'infini, mais surtout qu'elles soient invariantes par 
l'op\'eration du groupe $\SL$ en poids $k$ d\'efinie en (11), c'est-\`a-dire que
$$f\bigl(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\bigr)=(c\tau+d)^k\,f(\tau)\quad\forall\g=\abcd\in\G,\ \Im(\tau)>0.$$  
Une telle fonction s'appelle une {\it forme modulaire de poids $k$}.

Les exemples les plus simples sont
  $$\align G_4(\tau)&=\dfrac{1}{240}+q+9q^2+28q^3+\cdots\\
   G_6(\tau)&=-\dfrac{1}{504}+q+33q^2+244q^3+\cdots\endalign$$  (rappelez que $q=e^{2\pi i\tau}$) 
et plus g\'en\'eralement pour tout entier pair $k\ge4$ la {\it s\'erie d'Eisenstein de poids $k$}
  $$G_k(\tau)=-\dfrac{B_k}{2k}+q+(2^{k-1}\mp1)\,q^2+(3^{k-1}\mp1)\,q^3+(4^{k-1}\mp2^{k-1}\mp1)\,q^4+\cdots$$
o\`u $B_k$ est le $k$-i\`eme nombre de Bernoulli qu'on a d\'ej\`a vu et le coefficient de $q^n$ 
pour $n\ge1$ est la somme des puissances $k-1$-i\`emes des diviseurs de $n$. 
Il n'est pas du tout \'evident sur cette d\'efinition (et pour $k=2$ ce n'est m\^eme pas vrai)
que $G_k$ soit une forme modulaire. \c Ca provient du fait que
  $$G_k(\tau)\,=\,-\frac{(k-1)!}{(2\pi i)^k}\,\sideset\and'\to\sum_{m,n}\frac1{(m\tau+n)^k}\qquad(k\ge4),$$
o\`u la somme porte sur tous les entiers de $\Z$ non tous deux nuls.  La propri\'et\'e modulaire
est presque \'evidente dans cette nouvelle d\'efinition, tandis qu'un calcul facile et classique 
montre que le d\'eveloppement de Fourier de cette fonction est bien celui donn\'e ci-dessus.

S'il n'y avait pas d'autres exemples que ceux-l\`a, ce ne serait pas tr\`es int\'eressant. Mais comme tout 
\`a l'heure avec 
les polyn\^omes, pour la premi\`ere fois pour $k=12$ on trouve quelque chose de nouveau. Je d\'efinis
$$\align\Delta(\tau)&=q(1-q)^{24}(1-q^2)^{24}(1-q^3)^{24}\cdots\\
 &=q-24q^2+252q^3-1472q^4+\cdots\\ &=\sum_{n\ge1}\tau(n)\,q^n\,.\tag16\endalign$$
Alors c'est une forme modulaire, de poids 12.  (Encore une fois, ceci n'est pas \'evident. Il y a plusieurs
d\'emonstrations, pas tr\`es difficiles, mais je ne veux pas en parler.) Cette fonction est beaucoup plus
myst\'erieuse que les s\'eries d'Eisenstein. En particulier, les coefficients $\tau(n)$ ne sont plus 
donn\'ees par une loi simple~: la fonction $n\mapsto\tau(n)$, appel\'ee la fonction $\tau$ de Ramanujan,
est parmi les plus c\'el\`ebres en th\'eorie des nombres.  

\'Ecrivons $M_k$ pour l'espace des formes modulaires de poids $k$. L\`a-dedans, j'ai ce qu'on appelle 
les {\it formes paraboliques}, not\'ees $M_k^0$, qui sont les formes modulaires ayant un d\'eveloppement
de Fourier $f(\tau)=0+a_1q+\cdots$ sans terme constant. La fonction $\Delta\in M_{12}^0$ est un
exemple d'une telle forme. On conna\^\i t tout \`a fait bien la structure des espaces $M_k$ et $M_k^0$.
En particulier, les dimensions sont comme suit~:
  $$\vbox{\offinterlineskip\halign{$\hfil#\hfil$&\ \vrule#\ &&$\hfil\quad#\quad\hfil$\cr  
    k&&0&2&4&6&8&10&12&14&16\cr  \omit &height2pt&\omit&\cr  \noalign{\hrule}\omit &height2pt&\omit&\cr
   \dim M_k&&1&0&1&1&1&1&2&1&2\cr  \omit &height2pt&\omit&\cr \dim M_k^0&&0&0&0&0&0&0&1&0&1\cr  }}$$  
Cette table implique par exemple qu'il y a une relation lin\'eaire entre $\Delta$, $G_4$ et $G_6$,
 et en effet on a   $$\Delta=8000G_4^3-147G_6^2\,.$$
La preuve de cette relation est triviale d\`es que l'on sait que tout est modulaire et que $\dim M_{12}=2$,
mais comme identit\'e entre les coefficients dans les
$q$-d\'eveloppements de $G_4$, $G_6$ et $\Delta$ elle n'est pas triviale du tout.  En g\'en\'eral, la 
table des dimensions implique que tout \'el\'ement de $M_k$ est un polyn\^ome en $G_4$ et $G_6$.
\bigskip\noindent
{\bf P\'eriodes des formes modulaires}\nopagebreak
\smallskip
Quel est le lien entre tout ceci et ce qui pr\'ec\`ede ? Pour tous les $k$, j'avais les deux 
polyn\^omes ou presque polyn\^omes $P_k^+$ et $P_k^-$ satisfaisant aux relations (12) (avec $K=k-2$). 
Mais la premi\`ere fois que j'avais d'autres solutions, c'\'etait pour $k=12$, o\`u il y avait 
aussi pour la premi\`ere fois une forme parabolique. \c Ca doit \^etre li\'e, et en effet \c ca l'est~:
Il y a une fa\c con assez jolie d'associer \`a chaque $f\in M_k^0$ un polyn\^ome pair $r_f^+$ et 
un polynome impair $r_f^-$ qui satisfont tous deux \`a (12). (On peut faire de m\^eme avec $G_k$, mais la 
d\'efinition est moins jolie, et les ``polyn\^omes'' que l'on obtient sont les fonctions 
$P_k^+$ et $P_k^-$ que nous connaissons d\'ej\`a.) Voyons \c ca pour le cas de $\Delta$. 

Soient $\tau(n)$ ($n\ge1$) les coefficients d\'efinis par (16), et posons pour $x\in\R$ 
$$F_+(x)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\tau(n)}{n^{11}}\cos(2\pi nx)\,,\qquad
  F_-(x)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\tau(n)}{n^{11}}\sin(2\pi nx)\,.\tag17$$
On sait que $\tau(n)=\text O(n^6)$ (en fait on sait mieux que \c ca, mais c'est largement suffisant
pour ce que je veux faire). Les deux s\'eries convergent alors assez rapidement et on peut les calculer
tout \`a fait bien sur la machine, ou faire dessiner un graphique si on veut. Les fonctions  $F_+$ et $F_-$ 
sont p\'eriodiques et lisses (mais pas ultra-lisses~: elle sont bien 
diff\'erentiables, m\^eme deux fois, trois fois, quatre fois, mais pas cinq
fois diff\'erentiables).  Et elles ont la propri\'et\'e merveilleuse qui suit. 

Pour $F_-$ par exemple, posons
  $$r_\Delta^-(X)\,=\,F_-(X)+X^{10}\,F_-(1/X) \,=\,F_-(X)-X^{10}\,F_-(-1/X).$$ 
On peut \'ecrire le membre de droite comme $r^-_\Delta=F_-|(\b-S)$, o\`u $\,|\,=|_{-10}\,$ indique l'op\'eration de 
$\G$ en poids $-10$. La fonction $r^-_\Delta$ est donc automatiquement tu\'ee par $\b+S$ en poids $-10$, puisque
  $$r^-_\Delta|(\b+S)=F_-|(\b-S)|(\b+S)=F_-|(\b-S^2)=0\,,$$
et un calcul analogue, en utilisant le fait que $F_-|T=F_-$ et le lien entre $T$, $U$ et $S$, donne que
  $$r^-_\Delta|(1+U+U^2)=F_-|(1-S)(1+U+U^2)=F_-|(T-1)S(1+U+U^2)=0\,.$$
En d'autres mots, la fonction $r^-_\Delta$ satisfait aux \'equations (12) avec $K=10$.

Tout ceci resterait \'evidemment vrai si les coefficients $\tau(n)$ en (17) \'etaient remplac\'es par 
n'importe quels nombres de croissance pas trop rapide.  Mais maintenant vient le miracle~: 
le fait que $\Delta(\tau)$ soit une forme modulaire implique que la fonction $r^-_\Delta(X)$ est un 
{\it polyn\^ome} de degr\'e $\le10\,$, donc forc\'ement proportionnelle \`a l'un de nos polyn\^omes 
de tout \`a l'heure, et en effet on a
$$r^-_\Delta(X)=1.5390805167\dots\cdot\bigl[4X^9-25X^7+42X^5-25X^3+4X\bigr]\,,$$
un multiple du polyn\^ome impair $Q_{12}^-(X)$ d\'efinie en (15).  Et la m\^eme chose pour la 
fonction $F_+$~: en posant $r_\Delta^+=F_+|_{-10}(1-S)=F_+(X)-X^{10}F_+(1/X)$ on trouve 
$$r_\Delta^+(X)=18.99161508\ldots\cdot\bigl[-\dfrac{36}{691}(X^{10}-1)+X^8-3X^6+3X^4-X^2\bigr]\,,$$
une combinaison lin\'eaire des deux polyn\^omes $P_{12}^+(X)$ et $Q_{12}^+(X)$ qui sont les 
solutions fondamentales paires de nos relations de p\'eriodes. Les deux fonctions $r_\Delta^\pm$ s'appellent
les {\it polyn\^omes de p\'eriodes} de la fonction $\Delta$. 

Il me reste \`a expliquer {\it pourquoi} la modularit\'e de $\Delta$ implique
que les fonctions $r_\Delta^\pm$ soient des polyn\^omes.  Ce n'est pas tr\`es difficile.  Posons
  $$ F(\tau)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^{11}}\,e^{2\pi in\tau}\qquad(\tau\in\C,\;\Im(\tau)\ge0).$$
Pour $\tau=X\in\R$ la s\'erie converge comme $\sum n^{-5}$ et on a $F(X)=F_+(X)+iF_-(X)$ avec $F_+$ et
$F_-$ d\'efinis par (17).  Mais pour $\Im(\tau)>0$ la convergence est beaucoup plus rapide et on peut
diff\'erentier $F(\tau)$ autant de fois qu'on veut.  En particulier, on trouve
  $$ \biggl(\frac1{2\pi i}\,\frac d{d\tau}\biggr)^{11}\,F\bigl(\tau\bigr)
     =\sum_{n=1}^\infty\tau(n)\,e^{2\pi in\tau}=\Delta\bigl(\tau\bigr)\,.$$
Un calcul banal montre alors que
$$\biggl(\frac1{2\pi i}\,\frac d{d\tau}\biggr)^{11}\,
  \biggl(F\bigl(\tau\bigr)-\tau^{10}\,F\bigl(-\frac1\tau\bigr)\biggr)
   =\Delta\bigl(\tau\bigr)-\tau^{-12}\Delta\bigl(-\frac1\tau\bigr)\,.$$
La modularit\'e de $\Delta$ implique que ceci s'annule~; la fonction $F(X)-X^{10}F(-1/X)$ (dont
les parties r\'eelle et imaginaire sont $r_\Delta^+$ et $r^-_\Delta$) est donc un polyn\^ome. 

Ce lien entre les formes modulaires et les polyn\^omes, d\'ecouvert et \'etudi\'e par Eichler, 
Shimura et Manin, est tout \`a fait remarquable et poss\`ede de nombreuses applications dans la
th\'eorie des formes modulaires.  On peut si on veut l'utiliser dans le sens inverse pour
construire les formes modulaires d'un poids donn\'e $k$.  Pour cela on commence par trouver 
les polyn\^omes qui satisfont \`a (12) (avec $K=k-2$), ce qui est un calcul facile~:
on n'a qu'\`a r\'esoudre un syst\`eme d'\'equations lin\'eaires \`a coefficients rationnels.
Pour construire \`a partir de l\`a les formes paraboliques---il vaut mieux ne prendre que les
solutions impaires de (12), pour \'eviter les ennuis avec la fonction $P_k^+(X)$ et les s\'eries
d'Eisenstein---on proc\`ede comme suit. 

Soit $Q(X)$ le polyn\^ome donn\'e, par exemple $4X^9\mm25X^7\mp42X^5\mm25X^3\mp4X$ dans le cas $k=12$.
Nous cherchons une fonction p\'eriodique impaire $F(x)=\sum c_n\,\sin(2\pi inx)$ telle que $Q(x)$ 
s'\'ecrive comme $F(x)-x^{k-2}F(-1/x)$~; alors $f(\tau)=\sum n^{k-1}\,c_n\,e^{2\pi in\tau}$ sera notre forme
parabolique. La premi\`ere remarque c'est que quand $x$ tend vers 0, alors $x^{k-2}F(-1/x)$ tend vers z\'ero
(la fonction $F$ est p\'eriodique, donc born\'ee, et $k>2$).  Cela implique $F(0)=Q(0)$, et voil\`a d\'ej\`a 
une valeur de~$F$. Mais comme $F$ est p\'eriodique, \c ca donne
aussi la valeur \`a tous les entiers~: $F(n)=F(0)=Q(0)$.  La relation entre $F(-1/n)$ et $F(n)$ donne 
maintenant toutes les valeurs $F(-1/n)$, donc aussi les valeurs $F(m-1/n)$, et en r\'ep\'etant ce proc\'ed\'e
on trouve $F$ pour chaque nombre rationnel apr\`es un nombre fini d'\'etapes (algorithme d'Euclide).
Puisque les nombres rationnels sont denses et que la fonction $F$ est lisse, on peut ainsi calculer
toutes les valeurs de $F$ \`a l'aide de l'approximation des nombres r\'eels par les rationnels.
En d'autres termes, la fonction $F(x)$ est une fonction tout \`a fait calculable, et une fois que 
vous l'avez, vous en faites l'analyse de Fourier pour trouver $c_n$ et $f(\tau)$. 
\bigskip\noindent
{\bf La fonction $C_\tau(X,Y;T)$ et les p\'eriodes}
\smallskip
  Je veux maintenant montrer le lien entre la th\'eorie qu'on vient de d\'ecrire et
la fonction $C_{\tau}(X,Y;T)$ introduite dans notre ``troisi\`eme exemple" au d\'ebut.
La fonction $\theta_\tau$ qui intervient dans sa d\'efinition satisfait \`a la loi de transformation 
$$\theta_{\frac{a\tau+b}{c\tau+d}}\bigl(\frac{u}{c\tau+d}\bigr)
=\frac1{c\tau+d}\,\exp\bigl(\frac{cu^2/4i\pi}{c\tau+d}\bigr)\,\theta_{\tau}(u)\,,$$
qui serait la loi de transformation d'une forme modulaire (de poids $-1$) si on n'avait pas le terme 
en exponentielle de $u^2$. Mais justement ce
terme dispara\^\i t dans la combinaison $C_\tau$ car les arguments intervenant dans sa d\'efinition v\'erifient
 $$1^2+X^2+Y^2+(XY)^2=(X+Y)^2+(XY-1)^2\,.$$
Cela implique que la fonction $C$ poss\`ede la formule de transformation
$$C_{\frac{a\tau+b}{c\tau+d}}\bigl(X,Y;\frac T{c\tau+d}\bigr)=(c\tau+d)^2\,C_\tau\bigl(X,Y;T\bigr)\,,$$
elle est donc vraiment modulaire (et c'est la combinaison multiplicative des fonctions th\^eta
la plus simple qui ait cette propri\'et\'e).   Par cons\'equent, si j'\'ecris
$$C_{\tau}(X,Y;T)=\sum_{k=0}^\infty c_k(X,Y;\tau)\,T^{k-2}$$
(\c ca commence par un terme $1/T^2$, c'est pourquoi j'ai mis $k-2$), alors
quand je transforme par un \'el\'ement $\g\in\SL$, j'obtiens
  $$c_k(X,Y;\tau)|_k\g=c_k(X,Y;\tau)\,.$$

La fonction $c_k(X,Y;\tau)$ est donc une forme modulaire (en $\tau$) de poids $k$ pour tout $k\ge0$
et pour tout $X$ et $Y$. Elle est d'ailleurs tout \`a fait calculable, le d\'eveloppement
de $\theta_\tau(u)$ en s\'erie de puissances en $u$ \'etant connu. Le lien avec la th\'eorie expliqu\'ee avant 
est le fait suivant, d\'emontr\'e en [13]~: on a une d\'ecomposition
 $$ c_k(X,Y;\tau)=\sum_{j=1}^{\dim M_k(\G)} 
   f_{k,j}(\tau)\,\bigl[p^+_{k,j}(X)\,p^-_{k,j}(Y)+p^-_{k,j}(X)\,p^+_{k,j}(Y)\bigr]$$
o\`u $f_{k,j}\in M_k(\G)$ et les $p_{k,j}^+$ (resp.~$p_{k,j}^-$) sont des
fonctions paires (resp.~impaires), cette d\'ecomposition est unique \`a la num\'erotation
et la normalisation de $f_{k,j}$, $p_{k,j}^+$ et $p_{k,j}^-$ pr\`es, et on a en plus:
\roster\item"$\bullet$" la forme $f_{k,1}(\tau)$ pour $k\ge4$ est un multiple de la s\'erie d'Eisenstein $G_k(\tau)$,
tandis que les fonctions $p_{k,1}^\pm(X)$ sont proportionnelles aux fonctions $P_k^\pm(X)$~;
\item"$\bullet$" les autres formes $f_{k,j}(\tau)$ ($1<j\le\dim M_k(\G)$ sont la base canonique de $M_k^0(\G)$ 
donn\'ee par les ``formes de Hecke" (je ne pr\'ecise pas, mais pour $k=12$ c'est juste la fonction $\Delta$)
et $p_{k,j}^\pm(X)$ des multiples non nuls de leur polyn\^omes de p\'eriodes pairs et impairs.\endroster
Par exemple, pour $k=0$, 2, 4 et 12 on trouve
$$\align & c_0(X,Y;\tau)=\frac{(X+Y)(XY-1)}{X^2Y^2}\,,\\ & c_2(X,Y;\tau)=0\,,\\
 &c_4(X,Y;\tau)=240\,G_4(\tau)\,\bigl[(X^2\mm1)(Y^3\mm5Y\mp Y^{-1})+(X^3\mm5X\mp X^{-1})(Y^2\mm1)\bigr]\,,\\
 &c_{12}(X,Y;\tau)=\frac{65520}{691}\,G_{12}(\tau)\,\bigl[P_{12}^+(X)P_{12}^-(Y)+P_{12}^-(X)P_{12}^+(Y)\bigr]\\
 &\quad -\frac2{10!}\,\Delta(\tau)\,\bigl[\bigl(\frac{36}{691}P_{12}^+(X)-Q_{12}^+(X)\bigr)Q_{12}^-(Y)+
  Q_{12}^-(X)\bigl(\frac{36}{691}P_{12}^+(Y)-Q_{12}^+(Y)\bigr)\bigr]\,.\endalign$$
La connaissance de la seule fonction $C_\tau$ nous donne ainsi des renseignements complets sur {\it toutes} 
les formes modulaires sur $\G$ et sur leurs polyn\^omes de p\'eriodes, et l'identit\'e (6) \'equivaut 
aux relations de p\'eriodes pour toutes les fonctions $p_{k,j}^\pm(X)$ en m\^eme temps, comme on l'avait
d\'ej\`a vu pour les polyn\^omes sp\'eciaux $P_k^\pm(X)$ en utilisant la fonction $C(X,Y;T)=C_{i\infty}(X,Y;T)$.


\bigskip\noindent
{\bf Fonctions z\^eta doubles}
\smallskip

Il y a plusieurs autres applications de notre th\`eme g\'en\'eral dont j'aurais voulu
vous parler si le temps l'avait permis~; j'en mentionnerai quelques-unes \`a la fin de l'expos\'e.
Mais il y a deux exemples que je ne voudrais en aucun cas omettre~: un concernant 
les valeurs des fonctions z\^eta doubles et un autre concernant l'analyse spectrale sur $H/\SL$.

De la m\^eme mani\`ere que l'on d\'efinit 
$$\z(2)=\sum_{0<n}\dfrac{1}{n^2}\quad\text{et}\quad\z(3)=\sum_{0<n}\dfrac{1}{n^3}=1.2020569031\dots$$
(on ne peut pas calculer $\z(3)$ exactement, mais ce n'est pas une raison pour ne
pas en parler!), on d\'efinit les {\it valeurs de fonctions z\^eta multiples} comme 
$$\z(2,3)=\sum_{0<m<n}\dfrac{1}{m^2n^3}\,,\qquad\z(2,1,3)=\sum_{0<m<n<p}\dfrac{1}{m^2np^3}\,.$$
Ce sont des nombres extr\^emement int\'eressants.  En particulier, si l'on connaissait toutes les relations
sur $\Q$ entre ces nombres, cel\`a aurait apparemment des cons\'e\-quences dans
des domaines assez inattendus, par exemple l'\'etude des invariants des n\oe uds 
de Vassiliev et Kontsevich  [6].  Ces relations sont d'ailleurs tr\`es nombreuses~: par exemple,
les calculs num\'eriques [16] indiquent que parmi les $2^{10}=1024$ valeurs z\^eta multiples
$\z(n_1,\ldots,n_r)$ de poids total $n_1+\cdots+n_r=12$ il n'y a que 12 qui soient
lin\'eairement ind\'ependantes sur $\Q$, et qu'il existe des relations surprenantes 
et jolies comme $\z(1,3,1,3,1,3)=2\pi^{12}/14!\,$.

Le cas dont je vais parler ici est le cas des valeurs doubles
  $$\z(a,b) =\sum_{0<m<n}\frac1{m^a\,n^b}\qquad(a\ge1,\quad b\ge2)\,. \tag 18$$
Dans ce cas on sait tout faire, on connait toute la r\'eponse, et elle est ``isomorphe'' \`a la
th\'eorie des p\'eriodes des formes modulaires, bien qu'il n'y ait rien de visiblement
modulaire dans la d\'efinition (18).

Tout d'abord, je voudrais mentionner le lien avec les choses que j'ai faites au d\'ebut de cet expos\'e.
J'avais consid\'er\'e une fonction $f(m,n)$ qui \'etait une combinaison lin\'eaire de termes
comme $f_1(m,n)=1/m^3n$, et j'avais calcul\'e certains sommes dont par exemple 
$$\sum_{m,n>0}f_1(m+n,n)=\sum_{m,n>0}\dfrac{1}{(m+n)^3n}=\sum_{0<n<m}\dfrac{1}{nm^3}=\z(1,3)\,,$$  
la somme sur $m$, $n$ positifs de l'expression $f_1(m+n,n)$ \'etant \'egale \`a la somme sur $0<n<m$ 
de $f(m,n)$ puisqu'on peut renommer $m+n$ en $m$. Les sommes avec lesquelles j'ai commenc\'e mon 
expos\'e sont donc pr\'ecis\'ement des valeurs z\^eta doubles. Et l\`a j'ai trouv\'e que dans certains cas,
comme les fonctions $f$ d\'efinie en (1) ou en (3), on avait une identit\'e de la forme
$$f(m,n)-f(m+n,n)-f(m,m+n)=\sum\Sb 0<j<k\\j\text{ pair}\endSb
   \frac{c_j}{m^j\,n^{k-j}}\;\in\,\Q\left[\frac1m,\frac1n\right]\,,\tag 19$$
qui \'etait directement li\'e \`a la rationalit\'e de $\z(k)/\z(2)^{k/2}$ pour $k$ pair~: la relation
(19) implique $f(1,1)\z(k)=\sum c_j\z(j)\z(k-j)$ par l'argument donn\'e au d\'ebut. Remarquez que si le membre
de droit de (19) \'etait exactement 0, ce serait la relation
$$f-f|T-f|T'=0$$ qui est \'equivalent aux deux relations de p\'eriode
$f|(1+S)=f|(1+U+U^2)=0$ comme nous l'avons vu \`a plusieurs reprises.

Une solution de (19) pour chaque $k$ pair est toujours donn\'ee par la fonction (3) (avec $c_j=2$ pour
tout $j$), mais pour $k\ge8$ il y a d'autres solutions de cette \'equation telles que
$$ f(m,n)=\frac2{m^3n^5}+\frac3{m^4n^4}+\frac2{m^5n^3},\quad f(m,n)-f(m+n,n)-f(m,m+n)=\frac6{m^4n^4}$$
pour $k=8$ (corollaire~: $7\z(8)=6\z(4)^2$) ou
$$ f=\frac{10}{m^3n^7}+\frac{15}{m^4n^6}+\frac{16}{m^5n^5}+\frac{15}{m^6n^4}+\frac{10}{m^7n^3},
\quad f-f|T-f|T'=\frac{30}{m^4n^6}+\frac{30}{m^6n^4}$$
pour $k=10$. Ce ph\'enom\`ene 
est li\'e avec la th\'eorie des formes modulaires par une sorte de dualit\'e. On peut montrer que le nombre 
de solutions lin\'eairement ind\'ependantes de (19) est donn\'e par $\delta_k=\bigl\lfloor\dfrac{k+4}6\bigr\rfloor$, o\`u 
$\lfloor x\rfloor$ signifie la partie enti\`ere de $x$. Ce nombre est li\'e \`a la dimension de l'espace $M_k(\G)$ des 
formes modulaires de poids $k$ par la formule simple $\delta_k+\dim M_k^0(\G)=\bigl\lfloor\dfrac k4\bigr\rfloor$ et ceci
n'est pas une coincidence.  Grosso modo, la raison est que chaque identit\'e de la forme (19) implique une identit\'e
entre la s\'erie d'Eisenstein $G_k(\tau)$ et les produits des s\'eries d'Eisenstein $G_j(\tau)G_{k-j}(\tau)$,
et ces identit\'es correspondent \`a des relations entre les coefficients des 
polyn\^omes de p\'eriodes impairs $r_-(f)$ valables pour toutes les formes $f\in M_k^0(\G)$.

Le m\^eme nombre $\delta_k$ appara\^\i t une deuxi\`eme fois dans le calcul des valeurs $\z(a,b)$.
Si on essaie d'exprimer ces valeurs en termes \'el\'ementaires (c'est-\`a-dire
comme combinaisons lin\'eaires de produits des valeurs de la fonction z\^eta de Riemann, suppos\'ees
connues), on d\'ecouvre que c'est toujours possible pour des poids $k=a+b$ impairs, tandis que
pour $k $ pair cela n'est plus vrai d\`es que $k\ge8$.  Pour expliquer le r\'esultat, il est commode 
de mettre ensemble les fonctions z\^eta doubles pour un poids donn\'e~:
$$Z_k(X)=\sum_{n=2}^{k-1}\z(k-n,n)\,X^{n-1}\,.$$
(On ne peut pas commencer la somme \`a $n=1$, parce que $\z(k-1,1)$ diverge.)
Alors avec le m\^eme raisonnement que ci-dessus on trouve que
$$ Z_k(1+X)+X^{k-2}Z_k(1+\dfrac1X)\;=\;\text{\'el\'ementaire}$$
o\`u ``\'el\'ementaire" repr\'esente une combinaison de produits de valeurs de $\z$ ordinaires. 
Pour $k$ impair on peut montrer que cette relation et l'identit\'e \'evidente
  $$\z(a,b)+\z(b,a)=\biggl(\sum_{m>n>0}+\sum_{n>m>0}\biggr)\frac1{m^a\,n^b}=\z(a)\,\z(b)-\z(a+b)\qquad(a,\,b>1)$$  
suffisent \`a calculer toutes les valeurs $\z(k-n,n)$, mais pour $k\ge8$ pair on perd quelque-chose.
Par exemple, pour $k=7$, on trouve que le polyn\^ome
$$Z_7(X)=\z(1,6)X^5+\z(2,5)X^4+\z(3,4)X^3+\z(4,3)X^2+\z(5,2)X$$
est donn\'e par
$$\align Z_7(X)&=\z(7)\,(3X^5-11X^4+17X^3-18X^2+10X)\\
&\quad-\z(2)\,\z(5)\,(X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X)\\
&\quad-\z(3)\,\z(4)\,(X^5-2X^4-X^2+2X)\,,\endalign$$
ce qui exprime tous les $\z(7-n,n)$ comme combinaisons lin\'eaires \`a coefficients rationnels (en fait ici \`a
coefficients entiers) des trois expressions $\z(7)$,  $\z(2)\z(5)$ et $\z(3)\z(4)$ ayant poids 7.  Par contre, pour
$k=10$ on obtient seulement
$$\align Z_{10}(X)&=\dfrac{\z(10)}4\,\bigl(7X^8-16X^7+5X^6-\frac35X^5-2X^4+X^3-9X^2+\dfrac{93}{5}X\bigr)\\
&-\z(3)\z(7)\,\bigl(X^8-2X^7-X^2+2X\bigr)\\
&-\z(5)^2\,\bigl(\frac12X^8-4X^6+5X^5-\frac12X^4-5X^3+4X^2\bigr)\\
&+C\,\bigl(2X^7-7X^6+7X^5-7X^3+7X^2-2X\bigr),\endalign$$
o\`u  $$C=0.79195717542190720301315274452382507685314054948306\dots$$
est un nombre qu'on ne connait que num\'eriquement.  (L'identit\'e n'est cependant pas vide car 
il y a beaucoup plus de coefficients que de constantes, de fa\c con qu'on obtient tous les $\z(a,b)$
avec $a+b=10$ \`a l'aide d'un seul d'entre eux (par exemple $\z(8,2)$) et des produits $\z(a)\,\z(10-a)$.)  En 
g\'en\'eral, pour $k$ pair et $k\ge8$ on a besoin d'exactement $\delta_k-1=\lfloor(k-2)/6\rfloor$ constantes 
suppl\'ementaires pour exprimer toutes les valeurs $\z(n,k-n)$, le nombre $C$ ci-dessus \'etant un exemple d'une telle 
constante.  C'est donc li\'e de fa\c con myst\'erieuse avec la th\'eorie des formes modulaires.
Il serait tr\`es int\'eressant de savoir s'il existe une expression pour ces nombres inconnus en termes modulaires.


\bigskip
\noindent{\bf Les p\'eriodes des formes modulaires de Maass}
\smallskip
Comme dernier exemple, je veux parler d'une application en analyse spectrale. C'est un miracle
d\'ecouvert par John Lewis, et on ne comprend pas encore tout \`a fait pourquoi c'est vrai.

Avant, nous avions \'etudi\'e des fonctions $F$ satisfaisant \`a une identit\'e du type 
$$F(z)=F(z+1)+z^s\,F(1+\dfrac1z)\tag 20$$
pour un certain entier $s$ (qui portait alors le nom $k$ ou $2-k$) positif ou n\'egatif. 
L'id\'ee maintenant est de prendre $s$ complexe.  Alors on n'a plus l'interpr\'etation 
cohomologique~: on ne peut plus poser
$$(f|_s\g)(z)=(cz+d)^{-s}f\bigl(\frac{az+b}{cz+d}\bigr)\,,$$
car les d\'eterminations multiples de l'exponentielle font que ceci n'est plus une
op\'eration de groupe. Mais si la fonction $F$ est d\'efinie sur $\C-\,]\!-\infty,0]$, et si on
d\'efinit $z^{-s}=e^{-s\log z}$ avec la d\'etermination principale du
logarithme, alors, comme $z+1$ et $1+1/z$ sont aussi dans $\C-\,]\!-\infty,0]$, la relation (20)
a quand m\^eme un sens pr\'ecis, et nous pouvons consid\'erer les fonctions
$F$ holomorphes sur ce domaine.  Alors pour tout $s\in\C$, on peut se demander
s'il y a des solutions \`a l'\'equation (20).

Une r\'eponse, pas tr\`es int\'eressante, est oui, il y a une fonction qui
marche toujours~: je prends la fonction d\'efinie pour $\Re(s)>1$ par
$$F_s(z)=\sideset\and^*\to\sum_{m,n\ge0}\frac1{(mz+n)^s}$$
et pour $s$ quelconque par prolongement analytique.
Le $*$ signifie que l'on omet le point $(m,n)=(0,0)$ et que les points
sur le bord (avec $m$ ou $n$ nuls) sont multipli\'es par le coefficient $1/2$.

Cette fonction est une sorte de ``moiti\'e d'une s\'erie d'Eisenstein" et on v\'erifie
sans peine qu'elle satisfait bien \`a l'\'equation (20). (La preuve est tr\`es simple~:
vous avez une sommation sur un quart de plan. Quand vous remplacez $z$ par $z+1$ \c ca 
vous donne les $m\le n$, et quand vous remplacez $z$ par $1+1/z$ \c ca vous donne les $m\ge n$, avec 
multiplicit\'e $1/2$ en cas d'\'egalit\'e, exactement comme dans la d\'emonstration que j'ai
donn\'ee au d\'ebut de l'expos\'e.) 

La v\'eritable question est y en a-t-il d'autres ? R\'eponse~: oui, si on ne
met pas de conditions de croissance.  Mais si on impose une condition de croissance faible
\`a l'infini, et si on exclut le cas des $s$ entiers, alors on a la r\'eponse suivante,
 vraiment magnifique, due \`a Lewis [7]~: Il existe une autre solution que $F=F_s$ si et
seulement si le nombre $\lambda=\dfrac s2\,\bigl(1-\dfrac s2\bigr)$ appartient au spectre du
Laplacien op\'erant sur $H/\G$, c'est-\`a-dire si et seulement 
s'il existe une fonction $u\in L^2(H/\SL)$ qui soit solution de l'\'equation de Laplace
$$\Delta u=\lambda u\,,\qquad \Delta=-y^2\left(\dfrac{\d^2}{\d x^2}+\dfrac{\d^2}{\d y^2}\right)\,.$$
Une telle fonction s'appelle une {\it forme modulaire de Maass}, et on sait que les valeurs propres $\lambda$
forment un sous-ensemble d\'enombrable et discret de $[0,\infty)$, la valeur la plus petite \'etant environ 89. 

Il y a donc deux probl\`emes non triviaux qui se r\'esolvent mutuellement~:
Pour un $s$ donn\'e, soit il existe une forme modulaire de Maass avec valeur propre 
$\dfrac s2\,\bigl(1-\dfrac s2\bigr)$, et
dans ce cas notre \'equation (20) admet une solution non-triviale, soit il n'existe pas
de telle forme, et notre probl\`eme n'admet pas de solution lui non plus.

Le lien entre $u$ et $F$ est tout \`a fait analogue au passage d'une forme modulaire \`a son polyn\^ome 
de p\'eriodes. Les d\'etails \'etant un peu compliqu\'es, je ne les donne pas ici. Pour le lecteur qui veut 
en savoir plus, je renvois au papier originel de Lewis [7] et au papiers plus expositoires [8], [9].


\bigskip \newpage
\noindent{\bf Autres applications}
\smallskip
Comme je l'ai d\'ej\`a mentionn\'e, il y a plusieurs g\'en\'eralisations des choses d\'ecrites dans
cet article et plusieurs autres endroits o\`u l'\'equation (*) ou une de ses variantes appara\^\i t
de fa\c con naturelle dans une situation math\'ematique.  Voici une liste tr\`es raccourcie, avec
quelques r\'ef\'erences.  \roster
\item"$\bullet$" Outre les solutions polynomiales de~(12) avec $K\ge0$ il existe aussi des solutions en 
fonctions rationnelles pour $K<0$ (poids positif), et celles-ci sont encore une fois \'etroitement 
li\'ees aux formes modulaires sur $\G$ (cf.~[1] et les r\'ef\'erences donn\'ees l\`a). 
\item"$\bullet$"    
Le lien que nous avons d\'ecrit entre la loi d'addition de la fonction cotangente 
et les relations de type p\'eriode s'\'etend aux polyn\^omes de Bernoulli et donne des lois de
r\'eciprocit\'e g\'en\'erales pour les sommes de Dedekind (cf.~[4], [12]).  En fait, les lois de
r\'eciprocit\'e des sommes de Dedekind et leurs g\'en\'eralisations ne sont pas seulement {\it analogues}
aux relations satisfaites par les polyn\^omes de p\'eriodes des formes modulaires, mais elles y sont
directement li\'ees.  Ceci a \'et\'e conjectur\'e en [3] et d\'emontr\'e en [2]. 
\item"$\bullet$" 
Il y a des liens \'etroits entre la th\'eorie d\'ecrite ici et l'arithm\'etique des corps quadratiques
r\'eels, et on peut construire des polyn\^omes tr\`es explicites satisfaisant aux r\'elations de p\'eriodes
(12) comme des sommes des puissances $\frac{K-2}2$-i\`emes des polyn\^omes quadratiques r\'eduits d'un
discriminant donn\'e [5].  Ceci a des applications amusantes.  Par exemple, la fonction
 $$ F(x) = \sum\Sb a,\,b,\,c\in\Z,\,a<0\\ b^2-4ac=5\endSb\max(0,\,ax^2+bx+c)\qquad\qquad(x\in\R)$$
a la valeur constante $F(x)=2$, et ceci provient directement du fait qu'il n'y a pas de forme modulaire
parabolique de poids 4~!  Si on remplace ``5" par un autre discriminant $D>0$, alors la fonction $F(x)$ est
toujours constante, mais avec une autre valeur $c_D\,$, et ce nombre $c_D$ est hautement int\'eressant~:
c'est (\`a un facteur multiplicatif trivial pr\`es) la valeur en $s=2$ de la fonction z\^eta de Dedekind
du corps $\Q(\sqrt D)$.  Si on remplace le terme $\;\max(0,\,ax^2+bx+c)\;$ par sa troisi\`eme puissance,
alors la fonction $F$ a toujours une valeur constante (essentiellement la valeur de $\zeta_{\Q(\sqrt D)}(4)\,$),
mais pour la 5i\`eme puissance elle n'est plus constante (ou m\^eme $C^\infty$)~: c'est  maintenant
une combinaison lin\`eaire de la fonction 1 et de la fonction $F_+(x)=\sum n^{-11}\tau(n)\,\cos(2\pi nx)$
d\'efinie dans (17), avec des coefficients d\'ependants de $D$.
\item"$\bullet$" 
En utilisant les id\'ees d\'ecrites ici on peut donner une d\'emonstration tr\`es simple
de la formule de traces d'Eichler-Selberg dans le cas holomorphe [14] (si on utilise la th\'eorie des
p\'eriodes des formes modulaires classique) et m\^eme dans le cas non holomorphe [9] (si on se sert 
du r\'esultat de Lewis reliant les formes de Maass avec les solutions de l'\'equation (20)).
\item"$\bullet$" 
Enfin, il y a un lien avec la th\'eorie des poly\`edres rationnels. Par exemple, les invariants
additifs appel\'es ``scissors polynomials" en dimension 2 sont exactement les
solutions polynomiales et presque polynomiales de (12) que nous avons \'etudi\'ees (cf\. [10], p\. 223).
Ceci est li\'e aussi \`a la th\'eorie des sommes de Dedekind et leur g\'en\'eralisations 
multidimensionnelles (cf.~[11]).  
\endroster


\vskip 1.5 cm

\heading R\'ef\'erences\endheading \smallskip

\smallskip\noindent [1]  
Y-J\. Choie et D\. Zagier,  {\it Rational period functions for $PSL(2,\Bbb Z)$}, dans ``A Tribute to Emil Grosswald:
Number Theory and Related Analysis", Contemporary  Mathematics {\bf 143}, AMS, Providence (1993), 89--108.

\smallskip\noindent [2] 
S\. Fukuhara, {\it Modular forms, generalized Dedekind sums and period polynomials}, preprint, 1995.

\smallskip\noindent [3] 
S\. Fukuhara et N\. Maruyama, {\it An axiomatic approach to generalized Dedekind sums}, preprint, 1995.

\smallskip\noindent [4]  
R\. Hall, J\. Wilson et D\. Zagier, {\it Reciprocity formulae for general Dedekind-Rademacher sums}, 
Acta Arithmetica {\bf 73} (1995), 389--396.

\smallskip\noindent [5] 
W\. Kohnen et D\. Zagier, {\it Modular functions with rational periods}, dans
``Modular Forms", R.A. Rankin (ed.), Ellis Horwood, Chichester (1984), 197--249.

\smallskip\noindent [6]  
T.Q.T\. Le et J\. Murakami, {\it Kontsevich's integral for the Homfly polynomial and relations
between values of multiple zeta functions}, Topology and its Applic. {\bf 62} (1995), 193-206.

\smallskip\noindent [7]  
J\. Lewis, {\it Spaces of holomorphic functions equivalent to the even Maass cusp forms}, Invent\.
math\., \`a para\^\i tre.

\smallskip\noindent [8]  
J\. Lewis et D\. Zagier, {\it Period functions and the Selberg zeta function for the modular group}, 
\`a para\^\i tre dans ``The Mathematical Beauty of Physics", Advanced Series in Mathematical 
Physics {\bf 24}, World Scientific.

\smallskip\noindent [9]   
J\. Lewis et D\. Zagier, {\it Period functions for Maass wave forms}, en pr\'eparation.

\smallskip\noindent [10]
R\. Morelli, {\it Pick's theorem and the Todd class of a toric variety},
Adv\. in Math\. {\bf 100} (1993), 183--231.

\smallskip\noindent [11]
S\. Robins, {\it The Ehrhart polynomial of a lattice polytope}, preprint, 1995.

\smallskip\noindent [12]
D\. Solomon, {\it Algebraic properties of Shintani's generating functions: Dedekind sums and cocycles
on $PGL_2(\Q)$}, preprint, 1995.

\smallskip\noindent [13]
D\. Zagier, {\it Periods of modular forms and Jacobi theta functions}, 
   Invent\. math\. {\bf 104} (1991), 449--465.

\smallskip\noindent [14] 
D\. Zagier, {\it Periods of modular forms, traces of Hecke operators, and multiple zeta values}, 
  dans ``Hokei-keishiki to L-kansuu no kenkyuu" (Conf\'erence sur les formes automorphes et
 les fonctions L), RIMS Kokyuroku {\bf 843} (1993), 162--170.

\smallskip\noindent [15] 
D\. Zagier, {\it Values of zeta functions and their applications}, dans ``First European Congress of 
Mathematics", Volume II, Progress in Math.~{\bf 120}, Birkh\"auser-Verlag, Basel, (1994), 497--512.

\smallskip\noindent [16] 
D\. Zagier, {\it Multiple zeta values}, en pr\'eparation.


\enddocument




Corrections to the final French paper:

1) Address should be:   Max-Planck-Institut f\"ur Mathematik, Bonn
and not Max PLANCK INSTIT\"UT

2) Page  6,  line 5 from bottom: put a space before the colon after "deux relations"

3) Page  17, lines 2 and 3:  the signs in front of  $\z(2)\z(5)$ and $\zeta(3)\zeta(4)$ should both be minus, not plus.

