// Description of sigma(W) and f_W for the Coxeter group:
Coxeter group: Finitely presented group on 7 generators
Relations
    s * t * s = t * s * t
    s * u = u * s
    s * v = v * s
    s * w = w * s
    s * x = x * s
    s * y = y * s
    t * u * t = u * t * u
    t * v = v * t
    t * w = w * t
    t * x = x * t
    t * y = y * t
    u * v * u = v * u * v
    u * w = w * u
    u * x = x * u
    u * y = y * u
    v * w * v = w * v * w
    v * x = x * v
    v * y = y * v
    w * x * w = x * w * x
    w * y = y * w
    x * y * x = y * x * y
    s^2 = Id($)
    t^2 = Id($)
    u^2 = Id($)
    v^2 = Id($)
    w^2 = Id($)
    x^2 = Id($)
    y^2 = Id($)


// W has order 40320.


// 38 elements of W do not lie in \sigma(W).
// They are:

c := [ 
u * t * s * w * v * u * t * x * w * v * u * y * x * w,
v * u * t * s * w * v * u * t * x * w * v * u * y * x * w,
t * s * v * u * t * w * v * u * x * w * v * u * t * s * y * x * w,
u * t * s * v * u * t * w * v * u * x * w * v * u * t * s * y * x * w,
u * t * s * w * v * u * t * x * w * v * u * y * x * w * v,
v * u * t * s * w * v * u * t * x * w * v * u * y * x * w * v,
s * t * u * w * v * u * t * s * x * w * v * u * t * y * x * w * v,
s * t * u * v * w * v * u * t * s * x * w * v * u * t * y * x * w * v,
s * u * t * v * u * w * v * u * t * s * x * y * x * w * v * u,
t * s * u * t * v * u * w * v * u * t * s * x * y * x * w * v * u,
s * u * t * v * u * w * v * u * t * s * x * w * y * x * w * v * u,
t * s * u * t * v * u * w * v * u * t * s * x * w * y * x * w * v * u,
t * u * v * u * t * s * w * x * w * v * u * t * y * x * w * v * u,
s * t * u * v * u * t * s * w * x * w * v * u * t * y * x * w * v * u,
s * t * u * w * v * u * t * s * x * w * v * u * t * y * x * w * v * u,
t * u * v * w * v * u * t * s * x * w * v * u * t * y * x * w * v * u,
s * t * u * v * w * v * u * t * s * x * w * v * u * t * y * x * w * v * u,
s * u * t * v * u * w * x * w * v * u * t * s * y * x * w * v * u,
t * s * u * t * v * u * w * x * w * v * u * t * s * y * x * w * v * u,
s * u * t * v * u * w * v * x * w * v * u * t * s * y * x * w * v * u,
t * s * u * t * v * u * w * v * x * w * v * u * t * s * y * x * w * v * u,
s * u * t * v * u * w * v * u * t * s * x * y * x * w * v * u * t,
t * s * u * t * v * u * w * v * u * t * s * x * y * x * w * v * u * t,
u * t * s * v * u * t * w * v * u * x * w * y * x * w * v * u * t,
s * u * t * v * u * w * v * u * t * s * x * w * y * x * w * v * u * t,
t * s * u * t * v * u * w * v * u * t * s * x * w * y * x * w * v * u * t,
u * t * s * v * u * t * w * v * u * x * w * v * y * x * w * v * u * t,
s * u * t * v * u * w * x * w * v * u * t * s * y * x * w * v * u * t,
t * s * u * t * v * u * w * x * w * v * u * t * s * y * x * w * v * u * t,
s * u * t * v * u * w * v * x * w * v * u * t * s * y * x * w * v * u * t,
t * s * u * t * v * u * w * v * x * w * v * u * t * s * y * x * w * v * u * t,
u * t * s * v * u * t * w * v * u * x * w * y * x * w * v * u * t * s,
t * s * v * u * t * w * v * u * x * w * v * y * x * w * v * u * t * s,
u * t * s * v * u * t * w * v * u * x * w * v * y * x * w * v * u * t * s,
s * t * u * t * s * v * w * v * u * t * x * w * v * y * x * w * v * u * t * s,
s * t * u * v * u * t * s * w * v * u * t * x * w * v * y * x * w * v * u * t * s,
s * t * u * t * s * v * w * v * u * t * x * w * v * u * y * x * w * v * u * t * s,
s * t * u * v * u * t * s * w * v * u * t * x * w * v * u * y * x * w * v * u * t * s 
 ];


 // The b-basis on the elements not in Sigma(W):
 // (H(w) denotes the KL-basis elt corresponding to w.) 

(1)C(t * u * t * w * x * w) + (1)C(u * t * s * w * v * u * t * x * w * v * u * y * x * w).
(1)C(t * v * u * t * w * x * w) + (1)C(v * u * t * s * w * v * u * t * x * w * v * u * y * x * w).
(1)C(s * t * s * v * w * v * x * w * v) + (1)C(t * s * v * u * t * w * v * u * x * w * v * u * t * s * y * x * w).
(1)C(s * u * t * s * v * w * v * x * w * v) + (1)C(u * t * s * v * u * t * w * v * u * x * w * v * u * t * s * y * x * w).
(1)C(t * u * t * w * x * w * v) + (1)C(u * t * s * w * v * u * t * x * w * v * u * y * x * w * v).
(1)C(t * v * u * t * w * x * w * v) + (1)C(s * u * v * u * w * v * u * y) + (1)C(v * u * t * s * w * v * u * t * x * w * v * u * y * x * w * v).
(1)C(s * t * s * v * w * v * x * w * v) + (1)C(s * t * u * w * v * u * t * s * x * w * v * u * t * y * x * w * v).
(1)C(s * t * s * v * w * v * x * w * v * y) + (1)C(s * t * u * v * w * v * u * t * s * x * w * v * u * t * y * x * w * v).
(1)C(s * u * v * u * w * v * u * y) + (1)C(s * u * t * v * u * w * v * u * t * s * x * y * x * w * v * u).
(1)C(t * s * u * v * u * w * v * u * y) + (1)C(t * s * u * t * v * u * w * v * u * t * s * x * y * x * w * v * u).
(1)C(s * u * v * u * w * v * u * y * x) + (1)C(s * u * t * v * u * w * v * u * t * s * x * w * y * x * w * v * u).
(1)C(t * s * u * v * u * w * v * u * y * x) + (1)C(t * s * u * t * v * u * w * v * u * t * s * x * w * y * x * w * v * u).
(1)C(t * u * t * v * u * t * x * y * x) + (1)C(t * u * v * u * t * s * w * x * w * v * u * t * y * x * w * v * u).
(1)C(s * t * u * t * v * u * t * x * y * x) + (1)C(s * t * u * v * u * t * s * w * x * w * v * u * t * y * x * w * v * u).
(1)C(s * t * s * v * w * v * x * w * v * u) + (1)C(s * t * u * w * v * u * t * s * x * w * v * u * t * y * x * w * v * u).
(1)C(t * u * t * w * v * u * t * x * y * x) + (1)C(t * u * v * w * v * u * t * s * x * w * v * u * t * y * x * w * v * u).
(1)C(s * t * s * v * w * v * x * w * v * u * y) + (1)C(s * t * u * t * w * v * u * t * x * y * x) + (1)C(s * t * u * v * w * v * u * t * s * x * w * v * u * t * y * x * w * v * u).
(1)C(s * u * v * u * x * w * v * u * y) + (1)C(s * u * t * v * u * w * x * w * v * u * t * s * y * x * w * v * u).
(1)C(t * s * u * v * u * x * w * v * u * y) + (1)C(t * s * u * t * v * u * w * x * w * v * u * t * s * y * x * w * v * u).
(1)C(s * u * v * u * x * w * v * u * y * x) + (1)C(s * u * t * v * u * w * v * x * w * v * u * t * s * y * x * w * v * u).
(1)C(t * s * u * v * u * x * w * v * u * y * x) + (1)C(t * s * u * t * v * u * w * v * x * w * v * u * t * s * y * x * w * v * u).
(1)C(s * u * v * u * w * v * u * t * y) + (1)C(s * u * t * v * u * w * v * u * t * s * x * y * x * w * v * u * t).
(1)C(t * s * u * v * u * w * v * u * t * y) + (1)C(t * s * u * t * v * u * w * v * u * t * s * x * y * x * w * v * u * t).
(1)C(t * u * t * v * u * t * x * y * x) + (1)C(u * t * s * v * u * t * w * v * u * x * w * y * x * w * v * u * t).
(1)C(s * u * v * u * w * v * u * t * y * x) + (1)C(s * u * t * v * u * w * v * u * t * s * x * w * y * x * w * v * u * t).
(1)C(t * s * u * v * u * w * v * u * t * y * x) + (1)C(t * s * u * t * v * u * w * v * u * t * s * x * w * y * x * w * v * u * t).
(1)C(t * u * t * v * u * t * x * y * x * w) + (1)C(u * t * s * v * u * t * w * v * u * x * w * v * y * x * w * v * u * t).
(1)C(s * u * v * u * x * w * v * u * t * y) + (1)C(s * u * t * v * u * w * x * w * v * u * t * s * y * x * w * v * u * t).
(1)C(t * s * u * v * u * x * w * v * u * t * y) + (1)C(t * s * u * t * v * u * w * x * w * v * u * t * s * y * x * w * v * u * t).
(1)C(s * u * v * u * x * w * v * u * t * y * x) + (1)C(s * u * t * v * u * w * v * x * w * v * u * t * s * y * x * w * v * u * t).
(1)C(t * s * u * v * u * x * w * v * u * t * y * x) + (1)C(s * t * s * u * t * s * w * x * w * y * x * w) + (1)C(t * s * u * t * v * u * w * v * x * w * v * u * t * s * y * x * w * v * u * t).
(1)C(t * u * t * v * u * t * s * x * y * x) + (1)C(u * t * s * v * u * t * w * v * u * x * w * y * x * w * v * u * t * s).
(1)C(s * t * s * v * w * v * y * x * w * v) + (1)C(t * s * v * u * t * w * v * u * x * w * v * y * x * w * v * u * t * s).
(1)C(t * u * t * v * u * t * s * x * y * x * w) + (1)C(s * u * t * s * v * w * v * y * x * w * v) + (1)C(u * t * s * v * u * t * w * v * u * x * w * v * y * x * w * v * u * t * s).
(1)C(s * t * s * u * t * s * w * x * w * y * x * w) + (1)C(s * t * u * t * s * v * w * v * u * t * x * w * v * y * x * w * v * u * t * s).
(1)C(s * t * s * v * u * t * s * w * x * w * y * x * w) + (1)C(s * t * u * v * u * t * s * w * v * u * t * x * w * v * y * x * w * v * u * t * s).
(1)C(s * t * s * u * t * s * w * x * w * y * x * w * v) + (1)C(s * t * u * t * s * v * w * v * u * t * x * w * v * u * y * x * w * v * u * t * s).
(1)C(s * t * s * v * u * t * s * w * x * w * y * x * w * v) + (1)C(s * t * u * v * u * t * s * w * v * u * t * x * w * v * u * y * x * w * v * u * t * s).